9. Proměnné hvězdy

Úloha 9.1 Předpokládejme modelovou miridu o průměrné absolutní bolometrické hvězdné velikosti ${M_{{{\text{bol}}}}=-5} \mathrm{mag}$ s efektivní povrchovou teplotou ${T_{{{\text{ef}}}}=2300 \mathrm{K}}$. Efektivní povrchová teplota Slunce je $5 780 \mathrm{K}$. Určete poloměr miridy. Úloha 9.2 Dlouhoperiodicky proměnná hvězda - mirida o Ceti se v maximu jasnosti vyznačuje hvězdnou velikostí 2,5mag, zatímco v minimu jasnosti je její hvězdná velikost 9,2mag. Kolikrát je jasnější v maximu než v minimu?

Úloha 9.3 V jakém rozmezí se mění lineární poloměr proměnné hvězdy Betelgeuse, je-li její roční paralaxa ${\pi}$ = 0,0076`` a dosahuje-li v maximu jasnosti úhlový poloměr hvězdy hodnoty 0,034``, v minimu jasnosti 0,047``. Úloha 9.4 Odvoďte prostřednictvím rozměrové analýzy vztah pro základní periodu radiálních pulsací proměnných hvězd.

Úloha 9.5 Pulsující proměnná hvězda mění svoje charakteristiky, přičemž poměr střední kvadratické rychlosti pohybu atomů v atmosféře hvězdy a druhé kosmické rychlosti na povrchu hvězdy zůstává konstantní. Nalezněte poměr lineárních poloměrů proměnné hvězdy v maximu a minimu jasnosti, je-li amplituda změn jasnosti 1mag.

Úloha 9.6 Nechť pro základní periodu radiálních pulsací platí vztah $P\cong {\left({G{\rho}}\right)^{{-{\frac{1}{2}}}}}$. Předpokládejme bílého trpaslíka o hmotnosti $0,6 M_{\odot}$ a poloměru $1,3 . {\text{10}^{{-2}}} R_{\odot}$, hvězdu typu ${\delta}$ Cephei o hmotnosti $7 M_{\odot}$ a poloměru $80 R_{\odot}$, miridu o hmotnosti $1,1 M_{\odot}$ a poloměru $370 R_{\odot}$. Stanovte průměrné hustoty hvězd a jejich základní periody.

Úloha 9.7 Předpokládáme-li při pulsacích cefeid malé relativní změny poloměru a efektivní teploty, platí pro změnu pozorované bolometrické hvězdné velikosti ${{{\Delta}m}_{\text{b}}=-2,17\frac{{{\Delta}R}}{R}-4,34\frac{{{\Delta}T}}{T}}$. Určete amplitudu bolometrické hvězdné velikosti při ${{\Delta}R}=R_{\odot}$, ${R=\text{40}} R_{\odot}$, ${{{\Delta}T}=-1000} \mathrm{K}$, ${T=\text{5300}} \mathrm{K}$.

Úloha 9.8 Nechť jasnost zvolené modelové cefeidy se mění o 2mag. Je-li její efektivní povrchová teplota 6000K v maximu a 5000K v minimu, jak se mění poloměr?

Úloha 9.9 U cefeid populace I ze vztahu perioda - zářivý výkon vyplývá závislost mezi absolutní hvězdnou velikostí $M$ a periodou ${T}$: ${M=-2,76\log T_{{{\text{dny}}}}-1,37}$. Jaká je vzdálenost cefeidy, jestliže činí její perioda pulsace $T = 5,3$dne a střední pozorovaná hvězdná velikost je $m = 3,9 \mathrm{mag}$.

Úloha 9.10 U cefeidy z Velkého Magellanova mračna byla zjištěna pozorovaná hvězdná velikost $m = 14,3 \mathrm{mag}$ při periodě pulsace $T = 10,0$dne. Stanovte vzdálenost cefeidy a tím i celé galaxie.

Úloha 9.11 Absolutní vizuální hvězdná velikost hvězd typu RR Lyrae dosahuje $M_$v$= (0,6\pm0,3) \mathrm{mag}$. Jaká je relativní chyba vzdálenosti?

Úloha 9.12 Bolometrická hvězdná velikost dlouhoperiodických proměnných $m_{\mathrm{bol}}$ se mění o 1mag, v maximu efektivní povrchová teplota dosahuje 4500 K. Jaká je teplota v minimu, jde-li pouze o teplotní změny hvězdy? Zůstává-li teplota konstantní, jaké jsou relativní změny poloměru?

Úloha 9.13 Určování vzdálenosti a poloměru cefeid Baadeovou-Wesselinkovou metodou vychází ze srovnání naměřených změn úhlového poloměru při expanzi fotosféry (měření posuvu v optickém spektru absorpčních čar, umožňující určit změna poloměru fotosférických vrstev, kde dochází k formování čar) cefeidy proměřením radiální rychlosti. Stanovte vzdálenost hvězdy ${\eta}$ Aql, jestliže z pozorování bylo určeno ${{{\Delta}R}} = 7,6 R_{\odot}$ a ${{{\Delta}{\theta}}}= 0,2$mas.

Úloha 9.14 U hvězdy ${\delta}$ Cep byla zjištěna změna úhlového poloměru ${{{\Delta}{\theta}}}= 0,075$mas a vzdálenost $r = 285$pc. Stanovte hodnotu změny poloměru ${{{\Delta}R}}$.

Úloha 9.15 U proměnných hvězd typu RR Lyrae je pozorován tzv. Blažkův efekt, který byl původně historicky vysvětlován jako důsledek interference dvou kmitů. Jestliže hvězda kmitá s blízkými periodami ${P_{{1}}}$ a ${P_{{2}}}$, potom pro periodu ${{{\Pi}}}$ odpovídající interferenci obou kmitů platí ${\frac{1}{{{\Pi}}}=\frac{1}{P_{{2}}}-\frac{1}{P_{{1}}}}$. Tedy za čas ${{{\Pi}}}$ proběhne $n$ základních kmitů ${{{\Pi}}} = {n} {P_{{1}}}$ a ${{{\Pi}}} = {\left(n+1\right)P_{{2}}}$. Vyloučením $n$ z rovnic obdržíme výše uvedený vztah. U proměnné hvězdy XZ Cyg bylo z pozorování zjištěno ${P_{{1}}} = 0,470$dne a ${{{\Pi}}} = 54,945$dne. Stanovte ${P_{{2}}}$.

Úloha 9.16 U proměnné hvězdy ${{{\delta}}}$ Sct bylo z pozorování zjištěno ${P_{{1}}} = 0,193775$dne a ${P_{{2}}} = 0,186871$dne. Stanovte interferenční periodu ${{{\Pi}}}$.

Úloha 9.17 U hvězdy ${{{\delta}}}$ Cep je perioda změn jasnosti 5,3 dne, průměrná hvězdná velikost dosahuje zhruba 3,9 mag a její změny činí $\pm0,35 \mathrm{mag}$. S ohledem na tato data lze jasnost hvězdy v závislosti na čase $t$, kde $t$ je ve dnech, modelovat funkcí ${j\left(t\right)=3,9+0,35\sin\left(\frac{2{{\pi}t}}{5,3}\right)}$. Vyjádřete s přesností na dvě desetinná místa jasnosti hvězdy v prvních třech dnech.

Úloha 9.18 Pro cefeidy platí tzv. $P-R$ vztah vyjadřující závislost mezi poloměrem a periodou pulsace ve tvaru ${\log R=a+b\log P}$, kde $R$ vyjadřujeme v $R_{\odot}$ a periodu $P$ ve dnech. Nalezněte poloměr hvězdy ${{{\varsigma}}}$ Gem, jestliže známe teoreticky odvozené hodnoty $a = 1,188$, $b = 0,655$, z pozorování byla zjištěna hodnota $P = 10,1507$dne.

Úloha 9.19 Předpokládejme dvě hvězdy obíhající kolem společného hmotného středu po kruhových drahách s konstantní úhlovou rychlostí. Pozorujeme je ze Země přímo v dráhové rovině dvojhvězdy. Hvězdy se vyznačují povrchovými teplotami $T_1$ a $T_2$, $T_1>T_2$, jejich poloměr je $R_1$, $R_2$, $R_1>R_2$. Světelná křivka soustavy je na obrázku.

Minimální intenzita dosahuje 90 % respektive 63 % celkové intenzity $I_0$ obou hvězd $I_0=4,8.10^{-9} \mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$. Nalezněte periodu oběžného pohybu hvězd a úhlovou rychlost rotace soustavy. Za předpokladu platnosti Stefanova-Boltzmannova zákona pro záření hvězd určete poměry $T_1/T_2$, $R_1/R_2$.

Úloha 9.20 Ve spektru dvojhvězdy byla pozorována absorpční čára sodíku D$_1$ o laboratorní vlnové délce ${\lambda} = 589,59 \mathrm{nm}$. V důsledku pohybu obou hvězd a následného posuvu polohy této čáry byly zjištěny údaje z tabulky:

$t$ [den]	0,3	0,6	0,9	1,2	1,5	1,8	2,1	2,4
$\lambda_1$ [nm]	589,75	589,77	589,72	589,62	589,51	589,43	589,41	589,46
$\lambda_2$ [nm]	589,31	589,28	589,37	589,62	589,73	589,87	589,90	589,81
$t$ [den]	2,7	3,0	3,3	3,6	3,9	4,2	4,5	4,8
$\lambda_1$ [nm]	589,56	589,67	589,73	589,77	589,72	589,62	589,50	589,43
$\lambda_2$ [nm]	589,64	589,45	589,31	589,28	589,37	589,62	589,74	589,87

S využitím tabulky nalezněte oběžné rychlosti $v_1$ a $v_2$ jednotlivých hvězd, poměr hmotností $M_1/M_2$ a hmotnost každé hvězdy, vzdálenosti $r_1$ a $r_2$ jednotlivých hvězd od hmotného středu soustavy a vzdálenost $r$ obou hvězd.

Úloha 9.21 Určete periodu změn jasnosti modelové zákrytové dvojhvězdy, jestliže některá minima byla pozorována v následujících okamžicích, vyjádřených v juliánských dnech

2416604,701	2418112,739
2416641,572	2418138,548
2417334,753	2418477,764

Úloha 9.22 Určete periodu změn jasnosti zákrytové dvojhvězdy GS Cep, jejíž fotometrická měření dala následující časové údaje minim v juliánských dnech

2447414,4350	2447776,4542
2448060,4842	2448085,4936
2448088,4363	2448102,4202

Úloha 9.23 Jakou maximální a minimální možnou amplitudu změny jasnosti zákrytové proměnné soustavy můžeme určit soudobou fotometrickou technikou, skládá-li se soustava ze dvou hvězd o povrchové teplotě 6000 K, jedna z nich je obrem o absolutní hvězdné velikosti 0 mag. Zákryt předpokládáme centrální, hvězdy považujme za sférickosymetrické. Přesnost detekce fotometrických změn v současné době je 0,005 mag. Okrajové ztemnění u hvězd zanedbáváme.

Úloha 9.24 Zákrytová proměnná hvězda každých 30 dnů zmenšuje svoji jasnost o 0,2 mag, při čemž všechna minima jsou stejná. Spektroskopická pozorování ukázala, že čára H$_{\alpha}$ o laboratorní vlnové délce ${\lambda} = 656,3 \mathrm{nm}$ je zdvojená, její složky se periodicky rozdvojují na 0,2 nm. Předpokládejme centrální zákryt, střední hustoty obou složek jsou stejné, určete poměr jejich hmotností. Okrajové ztemnění hvězd zanedbáváme.

Úloha 9.25 Určete u modelové zákrytové dvojhvězdy poměr poloměrů ${\frac{R_{{A}}}{R_{{B}}}}$, je-li poměr teplot ${\frac{T_{{A}}}{T_{{B}}}=2}$ a klesne-li hvězdná velikost při centrálním zákrytu hvězdy A hvězdou B o 2,5mag vzhledem k celkové hvězdné velikosti obou hvězd.

Úloha 9.26 Modelová zákrytová dvojhvězda má oběžnou dobu $P = 2$dny$\:22$hodin. Doba částečného zatmění je 18 hodin a úplného 4 hodiny. Nalezněte poloměry hvězd prostřednictvím poloměru dráhy a oběžné doby, jestliže ze spektroskopických údajů byla zjištěna relativní oběžná rychlost $200 \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Úloha 9.27 Na základě fotometrických pozorování zákrytové trpasličí dvojhvězdy AA Dor byly zjištěny čtyři doby kontaktů ${t_{{1}}=0,3400}$dne, ${t_{{2}}=0,3462}$dne, ${t_{{3}}=0,3510}$dne, ${t_{{4}}=0,3576}$dne. Oběžná doba dvojhvězdy je 0,261540dne. Určete relativní poloměry obou hvězd za zjednodušujícího předpokladu $i = 90^\circ$, $r$ je vzdálenost složek.

Úloha 9.28 U zákrytové dvojhvězdy 2MASS J05352184-0546085 byly určeny z fotometrického proměření světelných křivek a křivek radiálních rychlostí následující parametry: $K_{{1}}=18,5 \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, $K_{{2}}=29,3 \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, $P = 9,779621$dne, $i = 89,2^\circ$, ${a\sin i=0,0406}$. Určete hmotnosti jednotlivých složek ${M_{{1}}}$, ${M_{{2}}}$, ${a_{{1}}}$, ${a_{{2}}}$.

Úloha 9.29 Ve spektru modelové zákrytové proměnné hvězdy, jejíž jasnost se mění s periodou $P = 3,953$dne, se spektrální čáry vzhledem k normálním vlnovým délkám periodicky posouvají na opačné strany, ze spektroskopických měření bylo zjištěno ${\left(\frac{{{\Delta}{\lambda}}}{{{\lambda}}}\right)_{{1}}=1,9.{10}^{{-4}}}$ a ${\left(\frac{{{\Delta}{\lambda}}}{{{\lambda}}}\right)_{{2}}=2,9.{10}^{{-4}}}$. Určete hmotnosti jednotlivých složek.