1. Astrofyzikální metody

Úloha 1.1 Odvoďte teoretický vztah pro rozlišovací schopnost dalekohledu $\sin\Theta=1,22\lambda/D$ respektive $\Theta=1,22\lambda/D$.

Úloha 1.2 Dokažte, že lidské oko bez vad má teoretickou rozlišovací schopnost asi $1'$.

Úloha 1.3 Hubbleův kosmický dalekohled obíhající nad Zemí ve výšce $600\,\mathrm{km}$ používá primární zrcadlo o průměru $D = 2,4\,\mathrm{m}$. Určete jeho rozlišovací schopnost na vlnové délce čáry L$_\alpha$, $\lambda = 121,6\,\mathrm{nm}$.

Úloha 1.4 Úhel mezi dvěma hvězdami je $10^{-6}\,\mathrm{rad}$. Lze tyto hvězdy rozlišit pomocí dalekohledu s průměrem primárního zrcadla $2,54\,\mathrm{m}$? Přepokládáme pozorování na vlnové délce $\lambda = 510\,\mathrm{nm}$.

Úloha 1.5 Předpokládejte, že hvězdy z předcházející úlohy vyzařují rádiové vlny na frekvenci $400\,\mathrm{MHz}$. Můžeme obě hvězdy rozlišit při detekci rádiového záření pomocí rádiového teleskopu v Arecibu, jehož průměr je $305\,\mathrm{m}$?

Úloha 1.6 Určete rozlišovací schopnost dalekohledu o průměru $D = 1,3\,\mathrm{m }$ na vlnové délce $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$. Jaký by musel mít poloměr rádiový teleskop pracující na vlnové délce $\lambda = 4\,\mathrm{m}$ se stejnou rozlišovací schopností?

Úloha 1.7 Jak velký bude obraz Marsu při opozici, jestliže pozorujeme planetu dalekohledem o průměru $62\,\mathrm{cm}$ s ohniskovou vzdáleností $f = 2,8\,\mathrm{m}$? Průměr Marsu je $6\,794\,\mathrm{km}$, jeho vzdálenost je $0,37\,\mathrm{AU}= 55\,$mil.km.

Úloha 1.8 Hvězda $\alpha$ Centauri A má roční paralaxu $\pi = 0,742''$ a průměr $1,7 . 10^9\,\mathrm{m}$. Můžeme rozlišit v Hubbleově kosmickém dalekohledu její kotouček při pozorování na vlnové délce $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$?

Úloha 1.9 Stanovte úhlové rozlišení mezi Plutem a Charonem při jejich pozorování v opozici ze Země v perihéliu dráhy s excentricitou $e = 0,25$. Velikost velké poloosy dráhy Pluta je $39,5\,\mathrm{AU}$, velikost velké poloosy dráhy Charona je $d = 19\,600\,\mathrm{km}$. Jaký průměr dalekohledu je nezbytný k úhlovému rozlišení obou těles na vlnové délce $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$?

Úloha 1.10 Nechť u hypotetické hvězdy spektrální třídy G2 V byla stanovena roční paralaxa $\pi = 0,004''$. Předpokládejte, že kolem ní obíhá planeta s oběžnou dobou $T = 64\,\mathrm{roků}$. Ověřte, zda lze rozlišit od sebe tělesa při sledování dalekohledem o průměru $10\,\mathrm{m}$ na vlnové délce $\lambda = 510\,\mathrm{nm}$.

Úloha 1.11 Stará kulová hvězdokupa M 13 v souhvězdí Herkula se nachází ve vzdálenosti $7,2\,\mathrm{kpc}$. Její úhlový průměr je $23'$. Hustota zářivého toku detekovaná od této hvězdokupy bolometrem v horní vrstvě zemské atmosféry je $2,45.10^{ -10}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$. Určete průměr hvězdokupy v pc. Za zjednodušujícího předpokladu, že všechny hvězdy hvězdokupy mají zářivý výkon shodný se Sluncem stanovte, kolik hvězd hvězdokupa obsahuje.

Úloha 1.12 Vzdálenost kosmických těles, v našem případě hvězd, určujeme ze vztahu $r=10^{0,2\left(m-M+5\right)}$. Do jaké vzdálenosti můžeme pozorovat hvězdy hlavní posloupnosti G0 V, jejichž absolutní bolometrická hvězdná velikost je $4,4\,\mathrm{mag}$. Předpokládejte, že hvězdy s nejmenší jasností, které můžeme pozorovat, se vyznačují pozorovanou bolometrickou hvězdnou velikostí $16,4\,\mathrm{mag}$.

Úloha 1.13 CCD detektor je umístěn v ohnisku reflektoru s ohniskovou vzdáleností $f = 15\,\mathrm{m}$ a s průměrem zrcadla $8,2\,\mathrm{m}$. Detektor obsahuje $500 \times 500$ pixelů, každý z nich má šířku $20\,\mu\mathrm{m}$. Jaká je úhlová velikost v arcsec oblohy, která je zobrazena na pixelu. Určete úhlovou velikost pole v arcmin celého CCD čipu.

Úloha 1.14 Zvažte, zda lze pomocí Hubbleova kosmického dalekohledu s primárním zrcadlem o průměru $D = 2,4\,\mathrm{m}$ a ohniskovou vzdáleností $f = 31\,\mathrm{m}$ vybaveného CCD detektorem $1600 \times 1600$ pixelů, jeden pixel má šířku $d = 15 \,\mu\mathrm{m}$, pozorovat aktivní galaxii NGC 6240, jejíž úhlová velikost je $2'$. Určete úhlovou velikost pole připadající na jeden pixel a na celý CCD čip (prvek).

Úloha 1.15 Obraz slabě jasné vzdálené galaxie na CCD detektoru pokrývá 50 pixelů. V průběhu pětisekundové expozice bylo na těchto pixelech zachyceno $10^4$ fotoelektronů. Na sousedních 2500 pixelech detektoru vně obrazu galaxie, bylo při stejné expoziční době zachyceno $10^5$ fotoelektronů. Určete poměr signál/šum. Vypočtěte potřebnou délku expozice $t$, jestliže budeme vyžadovat poměr signál/šum rovný 100.

Úloha 1.16 Mřížkový spektrograf s kolimační soustavou má ohniskovou vzdálenost $f_1 = 0,5\,\mathrm{m}$ a dále je vybaven obrazovou čočkou o ohniskové vzdálenosti $f_2 = 0,2\,\mathrm{m}$. Spektrum je fokusováno na CCD detektor, jednotlivé pixely mají šířku $15\,\mu\mathrm{m}$. Světlo směřované na mřížku prochází přes štěrbinu o šířce $s = 50\,\mu\mathrm{m}$. Mřížka má 600 čar/mm, její šířka je $10\,\mathrm{cm}$. Mřížka je užívána v prvním řádu k pozorování spektrální čáry o vlnové délce $\lambda = 500,7\,\mathrm{nm}$. Pro výsledné zachycené spektrum musí být rozlišení takové, aby alespoň dva pixely byly rozlišeny. Určete reciproční lineární disperzi $\mathrm{d}\lambda/\mathrm{d}x$ v Å/mm a v Å/pixel.

V extrémním případě, kdy je rozlišení spektra určováno výhradně šířkou štěrbiny, stanovte šířku lineárního rozlišovacího prvku, $\Delta x$ (v $\mu$m) a spektrálního rozlišení $W_\lambda$ (v Å). Je rozlišovací prvek adekvátní vzorkování pixelů v CCD?

Úloha 1.17 Jaký zvolíte typ pozorovacího přístroje k detekci záření přicházejícího ze spirálních ramen Galaxie. Záření vzniká v atomech vodíku při změně orientace spinu elektronu z původně paralelní na antiparalelní vzhledem k protonu. Teoreticky propočítaný rozdíl mezi oběma energetickými hladinami je $1,1 . 10^{-24}\,\mathrm{J}$.

Úloha 1.18 Mars pozorovaný pod úhlem $18''$ vyzařuje jako absolutně černé těleso o teplotě $210\,\mathrm{K}$. Určete tok záření od planety na vlnové délce $3\,\mathrm{cm}$.

Úloha 1.19 Tok záření přijímaný od Jupitera na frekvenci $20\,\mathrm{MHz}$ je $10^6\,\mathrm{Jy}$. Určete celkový zářivý výkon v jednotkovém rozsahu frekvence, tedy ve $\mathrm{W}\,\mathrm{Hz}^{-1}$. Předpokládáme izotropní vyzařování planety a vzdálenost planety v okamžiku pozorování $4,8\,\mathrm{AU}$.

Úloha 1.20 Určete minimální detekovatelný tok záření rádiovým teleskopem v Jodrell Bank, který má průměr antény $64\,\mathrm{m}$. Šířka pásma je $10\,\mathrm{MHz}$, anténní teplota na pozorované frekvenci je $130\,\mathrm{K}$, předpokládaná časová délka pozorování je $10\,\mathrm{minut}$.

Úloha 1.21 Very Large Array v Socorru ve státě Nové Mexiko v USA se skládá ze soustavy dvaceti sedmi rádiových teleskopů poskládaných do tvaru písmene Y, každý o průměru 25 metrů. Předpokládejte, že VLA souvisle pozoruje zdroj o rádiovém toku $1\,\mathrm{Jy}$ v pásmu $10\,\mathrm{MHz}$ od roku 1976. Určete celkové množství energie detekované do roku 2006.

Úloha 1.22 Jak dlouho družice COBE určená na detekci reliktního záření, musí zachycovat anizotropie záření na úrovni $\Delta T\approx3.10^{ -5}\,\mathrm{K}$ při poměru signál/šum rovnému 10, jestliže je teplota detekčního systému $250\,\mathrm{K}$ a šířka pásma $800\,\mathrm{MHz}$.

Úloha 1.23 Aktivní galaxie ve vzdálenosti $1\,\mathrm{Gpc}$, s  černou dírou obklopenou akrečním diskem, je zdrojem rentgenového záření o výkonu $L_\mathrm{x}=10^{34}\,\mathrm{W}$. Určete hustotu rentgenového zářivého toku od tohoto zdroje u Země. Kolik fotonů zachytí detektor na družici Chandra, jestliže jeho sběrná plocha je $0,04\,\mathrm{m}^2$, expoziční doba $10^6\,\mathrm{s}$ a průměrná energie fotonu je $5\,\mathrm{keV}$.

Úloha 1.24 V první polovině 19. století určili nezávisle na sobě tři astronomové paralaxu různých hvězd. Proveďte srovnání přesnosti měření, jestliže je známo: V. J. Struve stanovil $\pi_\mathrm{Vega} = 0,125''$, zatímco správná hodnota je $\pi_\mathrm{souč} = 0,129''$. F. W. Bessel určil paralaxu $\pi_\mathrm{61 Cygni} = 0,314''$, správná hodnota činila $\pi_\mathrm{souč} = 0,287''$. T. Henderson v prvních předběžných výsledcích zjistil paralaxu $\pi_{\alpha\mathrm{ CenA Rigil}} = 1,16''$, správná hodnota byla $\pi_\mathrm{souč} = 0,742''$.

Úloha 1.25 Ve vzdálené galaxii byla pozorována supernova typu Ia. V jejím spektru byla zjištěna absorpční čára K Ca II o naměřené vlnové délce $409,10\,\mathrm{nm}$. Předpokládaná pozorovaná hvězdná velikost v barvě $B$ supernovy v maximu jasnosti je $M_B=-19,5\,\mathrm{mag}$. Zvažte, zda bude pozorovatelná dalekohledem o průměru $70\,\mathrm{cm}$.

Úloha 1.26 Určete optickou hloubku zemské atmosféry od povrchu k sodíkové vrstvě zemské atmosféry, jejíž výška nad Zemí $D$ je přibližně $90\,\mathrm{km}$. Na povrchu Země měříme hustotu toku záření, které je stimulováno pomocí sodíkového laseru se zářivým výkonem $L_\mathrm{vni}$. Laserové světlo ozařuje vrstvu sodíku, excituje elektrony. Následně jsou sodíkové atomy deexcitovány a vyzařují světlo do všech směrů. Na Zemi pozorujeme zářivý bod - ,,umělou hvězdu", která slouží jako srovnávací zdroj k provedení korekce na atmosférické deformace.