3. Kosmická mechanika

Úloha 3.1 Odvoďte vztahy a vyjádřete hodnoty pro I. II. a III. kosmickou rychlost při povrchu Země.

Úloha 3.2 Kolikrát je I. kosmická rychlost na Zemi větší než na Měsíci? Hmotnost Země je 81krát větší než hmotnost Měsíce, poloměr Země je 3,75krát větší než poloměr Měsíce.

Úloha 3.3 Pozorováním z povrchu Země byla určena rychlost pohybu umělé družice Země na kruhové oběžné dráze na $7,5\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. V jaké výšce nad povrchem se pohybuje?

Úloha 3.4 Jedna ze spojových družic série Molnija měla po vypuštění následující parametry oběžné dráhy: výšku perigea $H_\mathrm{p} = 500\,\mathrm{km}$ a výšku apogea $H_\mathrm{a} = 40~000\,\mathrm{km}$. Vypočtěte rychlost družice v perigeu a apogeu.

Úloha 3.5 Umělá družice Země byla navedena na oběžnou kruhovou dráhu ve výšce $h = 600\,\mathrm{km}$. Vypočtěte její kruhovou rychlost v  $\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ s platností na dvě desetinná čísla. Určete parametry dráhy, zvýšíme-li její rychlost o $2,95\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Úloha 3.6 Umělá družice Země se pohybuje po oběžné kruhové dráze ve výšce $h = 760\,\mathrm{km}$. Potřebujeme ji převést na eliptickou dráhu s maximální vzdáleností od povrchu Země ${H_{\mathrm{a}}} = 40\,000\,\mathrm{km}$ a minimální vzdáleností $H_{\mathrm{p}}=760\,\mathrm{km}$. Určete velikost potřebné změny rychlosti družice a velikost nové oběžné doby.

Úloha 3.7 Jaká minimální práce byla vykonána při převedení Hubbleova dalekohledu o hmotnosti ${m_{\mathrm{H}}=1,1.{10}^{{4}}}\,\mathrm{kg}$ z kruhové oběžné dráhy ve výšce $h_{{1}} = 500\,\mathrm{km}$ na ${h_{{2}}}= 600\,\mathrm{km}$.

Úloha 3.8 Nalezněte minimální práci, kterou je třeba vynaložit, abychom těleso o hmotnosti 1kg přenesli z povrchu Země na povrch Měsíce. Odpor atmosféry Země zanedbáváme, stejně jako vliv Slunce a planet.

Úloha 3.9 Lze na oběžnou dráhu kolem Venuše umístit stacionární družici bez aktivního pohonu? Údaje o siderické oběžné době a hmotnosti planety vyhledejte například na adrese http://ads.harvard.edu/books/hsaa/. Siderická doba rotace je $T_{\mathrm{V}}=243,019$ dne a hmotnost $M_{\mathrm{V}}= 6,4.{10}^{{{23}}}\,\mathrm{kg}$.

Úloha 3.10 Které těleso, Země nebo Slunce, působí větší gravitační silou na Měsíc? Proveďte diskusi, proč Měsíc obíhá kolem Země a nikoliv kolem Slunce. ${M_{\odot}=330000\,M_{\mathrm{Z}}}$, ${r_{{{\mathrm{MS}}}}=390\,r_{{{\mathrm{MZ}}}}}$.

Úloha 3.11 Určete poměr slapových působících na Zemi, vyvolaných Sluncem a Měsícem. Jak by se situace změnila, jestliže by se hypoteticky vzdálenost Měsíce zvětšila 2krát. Nezbytné číselné údaje o hmotnostech těles a jejich vzdálenostech nalezněte v tabulkách.

Úloha 3.12 Síly přílivového tření vyvolané především měsíčními slapy zpomalují rotaci Země. Tento proces bude pokračovat, dokud úhlová rychlost rotace Země nebude rovna úhlové rychlosti oběžného pohybu Měsíce kolem Země. Určete vzdálenost Měsíce od Země ${a_{{{\mathrm{kon}}}}}$ a jeho oběžnou dobu ${T_{{{\mathrm{kon}}}}}$ při této tzv. oboustranné vázané rotaci obou těles při předpokládaném lineárním vzdalování Měsíce od Země. Rotační moment hybnosti Měsíce na počátku a konci uvažovaného procesu jakož i Země v konečném stavu budeme zanedbávat. Pro zjednodušení dále předpokládejme, že rotační osa Země je kolmá k oběžné rovině měsíční dráhy. Rotační moment hybnosti Země v současnosti je ${L_{{{\mathrm{Zrot}}}}=6.{10}^{{33}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{2}.s^{-1}$, moment setrvačnosti Země ${J_{{Z}}}= 8.{10}^{{{37}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{2}$, předpokládáme znalost ${r_{{{\mathrm{ZM}}}}}$, ${M_{\mathrm{M}}}$, ${T_{{{\mathrm{poč}}}}}$.

Úloha 3.13 Jak bychom hypoteticky museli změnit hmotnost Země, aby Měsíc obíhal ve stejné vzdálenosti kolem Země s oběžnou dobou 3krát menší?

Úloha 3.14 Jaká by musela být hmotnost Slunce, aby Země obíhající kolem něho se stejnou oběžnou dobou, se nacházela ve dvojnásobné vzdálenosti?

Úloha 3.15 Úbytek hmotnosti Slunce vyvolaný jeho vyzařováním činí za 1s $4,3.{10}^{{9}}\,\mathrm{kg}$, ročně $6,7. {10}^{{-{14}}}\,\mathrm{M}_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$, úbytek vyvolaný slunečním větrem ${{10}^{{-\mathrm{14}}}}\,\mathrm{M}_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$. Jak se změní poloměr dráhy Země kolem Slunce v důsledku těchto jevů? Zjednodušeně předpokládejme kruhový tvar dráhy Země.

Úloha 3.16 Kometa prošla perihéliem ve vzdálenosti $r = 0,587\,\mathrm{AU}$ rychlostí $v = 54,52\, \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Po jaké dráze se pohybuje, určete její parametry.

Úloha 3.17 V román Julese Vernea Hector Servadac (u nás známého pod názvem Na kometě) se autor zmiňuje o planetce Galia s oběžnou dobou ${T_{\mathrm{G}}=} 2\,\mathrm{roky}$ a vzdáleností v aféliu 820000000km. Může se planetka pohybovat po takové dráze?

Úloha 3.18 Vypočítejte rychlost planetky Hektor v perihéliu a aféliu, jestliže její kruhová rychlost se blíží $13,1\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ a excentricita její dráhy je ${\varepsilon} = 0,024$. Přibližně na jaké střední heliocentrické vzdálenosti se planetka nachází?

Úloha 3.19 Jakou metodou mohou kosmonauté nacházející se v kosmické lodi pohybující se po nízké kruhové oběžné dráze kolem planety určit pomocí hodin její hustotu?

Úloha 3.20 Na čem závisí velikost celkové mechanické energie družice pohybující se kolem Země po eliptické dráze?

Úloha 3.21 Družice o hmotnosti ${m_{\mathrm{d}}} = {10}^{{3}}\,\mathrm{kg}$ se pohybuje po kruhové oběžné dráze nad povrchem Země ve výšce ${h} = {10}^{{3}}\,\mathrm{km}$. Jaká je její kinetická, potenciální a celková energie? Údaje o hmotnosti a poloměru Země naleznete v tabulkách http://ads.harvard.edu/books/hsaa/.

Úloha 3.22 Určete rychlost družice Orbiter 1 v periseleniu a aposeleniu, jestliže její střední výška nad povrchem Měsíce byla $h = 1\,027\,\mathrm{km}$ a excentricita dráhy ${\varepsilon} = 0,298$. Údaje o Měsíci, jeho hmotnosti a poloměru najděte v tabulkách http://ads.harvard.edu/books/hsaa/.

Úloha 3.23 Kosmická loď o hmotnosti ${m_{\mathrm{l}}} = 12. {10}^{{3}}\,\mathrm{kg}$ se pohybuje po kruhové oběžné dráze nad povrchem Měsíce ve výšce ${h} = 100\,\mathrm{km}$. Pro přechod na přistávací dráhu je na krátkou dobu zapnut brzdící motor. Rychlost vyletujících plynů z reaktivního motoru je ${v_{{{\mathrm{pal}}}}} = {10}^{{4}}\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$.

a)

Jaké množství paliva bude spotřebováno, jestliže po zapnutí brzdících motorů sestoupí kosmická loď z bodu A dráhy do bodu B na povrchu Měsíce?

b)

Jaké množství paliva je nezbytné pro sestup kosmické lodi na povrch Měsíce, jestliže v bodě A dráhy je přidán impuls ve směru na hmotný střed Měsíce, tak aby loď přistála v bodě C?

Úloha 3.24 V kterých tělesech sluneční soustavy je uložen největší moment hybnosti? Určete dráhový moment hybnosti Země, Jupitera, Saturnu a Uranu, porovnejte s momentem hybnosti Slunce. Nezbytné údaje nalezněte v http://ads.harvard.edu/books/hsaa/.

Úloha 3.25 Vypočtěte hmotnost Saturna, jestliže víme, že jeho měsíc Hyperion se pohybuje ve střední vzdálenosti od planety $1,48.{10}^{{6}}\,\mathrm{km}$ s oběžnou dobou $21,28\,\mathrm{dne}$.

Úloha 3.26 V roce 1978 byl objeven měsíc Pluta Charón, který kolem této trpasličí planety obíhá ve střední vzdálenosti 19 640 km za dobu 6,39 dne. Určete hmotnost dvojsystému Pluto - Charón za zjednodušujícího předpokladu stejné hustoty obou těles, určete její hodnotu. V roce 1988 byly upřesněny poloměry obou těles, ${R_{{{\mathrm{Pl}}}}={1150}}\,\mathrm{km}$, ${R_{{{\mathrm{Ch}}}}={593}}\,\mathrm{km}$, stanovte hmotnosti jednotlivých těles.

Úloha 3.27 Určete Rocheovu mez pro soustavu Země - Měsíc, stanovte její velikost.

Úloha 3.28 Určete dobu letu kosmické sondy k Marsu po poloeliptické tzv. hohmannovské dráze, nazývané na počest německého matematika a fyzika Waltera Hohmanna (1880-1943).