12. Hvězdy a mezihvězdná látka



Úloha 12.1 V typickém mezihvězdném mračně při $ T = 50 \,\mathrm{K}$ je $ n = 5.10^{-4}\,\mathrm{
m}^{-3}$. Budeme předpokládat, že mračno je složeno z vodíku H I, $ \rho_0 = m_{\mathrm{H}}
n_{\mathrm{H}} = 8,4 . 10^{ - 19}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$. Určete kritickou Jeansovu hmotnost.

M16


Úloha 12.2 Stanovte teoretickou hodnotu Jeansovy hmotnosti mezihvězdných mračen, pro tři možné případy:
a) chladné oblasti s  $ T = 10^2 \,\mathrm{K}$, $ \rho_0 = 10^{ - 19}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$
b) oblasti H II, kde $ T = 10^4 \,\mathrm{K}$, $ \rho_0 = 10^{ - 21}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$
c) horké oblasti, ve kterých $ T = 10^6 \,\mathrm{K}$, $ \rho_0 = 10^{ -
23}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$
Molekulární hmotnost $ \mu$ přijměte rovnu 1 v případě a), v dalších případech pokládáme $ \mu=\frac{1}{2}$.



Úloha 12.3 Určete dobu smršťování mračna volným pádem, jestliže průměrná hustota mračna je $ \rho = 3 . 10^{ -15}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$



Úloha 12.4 Stanovte střední zářivý výkon protohvězdy v průběhu počátečního smršťování, které probíhalo na časové škále $ 3.10^5\,$roků$ =
10^{13}\,$s. Smršťující se mračno o hmotnosti $ 1,5\,M_{\odot}= 3. 10^{
30}\,\text{kg}$ se vyznačovalo původní velikostí mračna $ \approx10^{
11}\,\text{m}$, po proběhlé gravitační kontrakci mělo jádro mračna velikost $ R
= 1,6.10^{11}\,$m. Předpokládáme, že smršťování probíhalo relativně pomalu ,,kvazirovnovážně", platila pro něj viriálová věta $ \langle E_$k$ \rangle +2\langle E_$p$ \rangle = 0$.



Úloha 12.5 Určete střední dobu mezi dvěma srážkami atomů neionizovaného vodíku při teplotě mezihvězdného mračna $ 80\,$K, jestliže účinný srážkový průřez atomů je přibližně $ \sigma\cong10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$, předpokládaná hustota atomů je $ n_{\mathrm{H}}\cong10^{-6}\,\mathrm{m}^{-3}$.



Úloha 12.6 V mezihvězdném prostředí, jehož vlastnosti se blíží vlastnostem ideálního jednoatomového plynu, je teplota určována pomocí vztahu $ \frac{3}{2}kT=\frac{9}{32}m_{\mathrm{H}}v^2$. Určete teplotu je-li rychlost rozšiřování vláknových struktur mlhoviny rovna $ v\cong10^2\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.



Úloha 12.7 Určete dobu pobytu atomu vodíku v ionizovaném stavu v planetární mlhovině, je-li zadána koncentrace volných elektronů $ n_{\mathrm{e}}=10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$, teplota mlhoviny $ T = 10^4 \,\mathrm{K}$.



Úloha 12.8 Uvažujte atomu vodíku nacházející se v mezihvězdném mračně. Teplota mračna určuje rychlost pohybu atomů $ v_$t$ =\sqrt{2kT/m_\text{H}}$, úniková rychlost atomů na okraji mračna je dána vztahem $ v_$u$ =\sqrt{2GM/R}$. Zdůvodněte výpočtem, proč emisní mlhoviny drží pohromadě.



Úloha 12.9 Jak se mění poloha hvězdy na diagramu barva - pozorovaná hvězdná velikost pro kulové hvězdokupy, jestliže
a) vzdálenost hvězdokupy se zvětší $ 10\times$
b) mezi hvězdokupou a pozorovatelem leží mračno prachu pro které $ A = 5\,$mag.



Úloha 12.10 Odhadněte teplotu prachové částice nacházející se ve vzdálenosti $ r_v =
100\,\mathrm{AU}$ od nově vzniklé hvězdy hlavní posloupnosti spektrální třídy F0. Předpokládejme, že rotující částice je ve stavu termodynamické rovnováhy, to znamená, že množství energie absorbované částicí v daném časovém intervalu je přesně rovno množství vyzářené energie touto částicí. Dále předpokládáme, že částice je sféricky symetrická a absorbuje záření jako černé těleso. Uvažovaná hvězda hlavní posloupnosti má povrchovou teplotu $ 8 \,200 \,\mathrm{K}$ a poloměr $ 1,8\,R_{\odot}$.



Úloha 12.11 Ve středu planetární mlhoviny Helix se nachází horká hvězda - bílý trpaslík s povrchovou teplotou $ T = 100 \,000 \,\mathrm{K}$. Velká část záření centrální hvězdy je pohlcována mlhovinou. Objasněte proč můžeme skrze ni pozorovat vzdálenější galaxie.

Helix


Úloha 12.12 Odvoďte vztah pro geometrickou délku zorného paprsku uvnitř prstencové mlhoviny, skládající se z obálky o tloušťce $ d$ a vnějším poloměru $ r$. Bude mlhovina vypadat jako planetární, jestliže hustota uvnitř obálky se zmenší o jeden řád a $ d/r = 0,1$?



Úloha 12.13 Uprostřed emisní mlhoviny Růžice se nachází hvězda spektrální třídy O5 s povrchovou teplotou asi $ 50 \,000 \,\mathrm{K}$ a odhadovaným poloměrem $ 18\,R_{\odot}$. Kolik mezihvězdných atomů vodíku dokáže tato hvězda ionizovat za 1 sekundu? Jak by se změnil počet fotonů, jestliže by se teplota hvězdy zvýšila na $ 100 \,000
\,\mathrm{K}$?

Růžice


Úloha 12.14 Doložte výpočtem vznik oblasti H II ionizujícím zářením v prostoru kolem hvězdy spektrální třídy O6, $ T_{\mathrm{ef}}\cong 45 \,000 \,\mathrm{K}$, $ L \cong 1,3 . 10^5
\,L_{\odot}$.



Úloha 12.15 Které jsou dva hlavní faktory určující velikost oblasti H II? Objasněte astrofyzikální podstatu své odpovědi, odvoďte velikost Strömgrenovy sféry.



Úloha 12.16 Dokažte, že Strömgrenův poloměr zóny H II závisí na koncentraci atomů vodíku v závislosti $ r_S\sim n^{-2/3}$.



Úloha 12.17 Nalezněte poloměr Strömgrenovy oblasti kolem hvězdy Spicy, B2V, $ T = 24 \,000
\,\mathrm{K}$, $ R = 5\,R_{\odot}$ . Předpokládaná hustota $ n_{\mathrm{H}} = 10^6 \,\mathrm{m}^{ -3}$, koeficient rekombinace na všechny energetické hladiny vyjma první základní je $ \alpha = 2,3 . 10^{ - 19}\,\mathrm{ m}^3.\mathrm{ s}^{ -1}$.



Úloha 12.18 Hvězda s povrchovou teplotou $ 16 \,000 \,\mathrm{K}$ je pohroužena do mezihvězdného mračna. Odhadněte, jaká část její vyzařované energie připadá na ionizaci mezihvězdného vodíku. Předpokládejme, že hvězda vyzařuje jako černé těleso.



Úloha 12.19 Boltzmannův člen $ \exp\left(-\frac{h\nu}{kT}\right)$ umožňuje určení relativního obsazení energetických hladin. Užijte tento člen k výpočtu teploty nezbytné pro atomy vodíku, aby proton a elektrony přešly z antiparalelního do paralelního spinu. Jsou teploty mračen H I dostatečné k produkování této nízké energie?



Úloha 12.20 Emisní čára HI je pozorována na kmitočtu $ \nu =
1\,420,4057\,$MHz. Určete poměr obsazení horních a dolních energetických hladin při teplotách $ T = 100\,$K, $ T = 10\,$K.



Úloha 12.21 U planetární mlhoviny byl spektroskopicky zjištěn Balmerův dekrement, poměr intenzit spektrálních čar H$ _\alpha$ a H$ _\beta$ rovný $ 3,50$. Teoreticky propočítaná hodnota tohoto poměru je $ 2,86$. Rozdíl velikostí intenzit spektrálních čar na různých vlnových délkách je způsoben zčervenáním v mezihvězdném prostředí, které je větší v krátkovlnné než v dlouhovlnné (červené) oblasti optického spektra. Jev je vyvolán prachovými částicemi, hovoříme o zčervenání. Určete vzdálenost planetární mlhoviny, jestliže závislost mezihvězdné absorpce na vzdálenosti je v Galaxii dána empirickým vztahem $ A_\lambda=\frac{6,5\,\text{\AA}}{\lambda}.2.10^{-4}\,\text{mag}\,\text{pc}^{-1}$.



Úloha 12.22 Ze spektroskopických pozorování planetární mlhoviny NGC 7027 v souhvězdí Labutě byla zjištěna její teplota $ 1,1 . 10^4\,\mathrm{K}$. Vyzařovací schopnost plynu mlhoviny, jak ve spektrálních čarách tak ve spojitém spektru, charakterizujeme veličinou nazývanou emisní míra, je zavedena obecně $ EM=\int_0^ln_{\mathrm{e}}^2{\mathrm d}l$. V celém rozsahu vlnových délek je povrchová jasnost mlhoviny prakticky úměrná $ EM$. V naší úloze je střední emisní míra $EM = 5,3 . 10^{19}
 \,\mathrm{pc}.\mathrm{ m}^{ - 6}$. Nalezněte koncentraci elektronů $ n_{\mathrm{e }}$ v mlhovině a stanovte její hmotnost. Předpokládáme $ n_{\mathrm{e}} =$konst. a sférický tvar mlhoviny o průměru $ D\cong0,1\,\pc$

NGC 7027


Úloha 12.23 Mezihvězdný vodíkový plyn má teplotu $ 100\,$K .Určete šířku spektrální čáry za předpokladu pouze teplotního rozšíření. Dále stanovte šířku čáry v případě rozšíření srážkami, při hustotě $ n=10^6\,$m$ ^{-3}$ a $ \sigma = 3,6.10^{-20}\,$m$ ^2$.



Úloha 12.24 Zjištěné šířky čar $ \mathrm{H}_{\alpha}$ s $ \lambda = 656,3 \,\mathrm{nm}$ a N II s  $ \lambda=658,4\,\mathrm{nm}$ jsou $ \Delta\lambda_1=0,05\,\mathrm{nm}$ a $ \Delta\lambda_2=0,04\,\mathrm{nm}$. Nalezněte teplotu a rychlost pohybu oblastí plynu v mlhovině.



Úloha 12.25 Ve spektrech plynných mlhovin pozorujeme pozorujeme rádiové čáry vznikající přechody mezi vysoce položenými energetickými hladinami. Určete vlnovou délku rekombinační čáry vodíku H$ n_\alpha$, $ n \gg 1$.



Úloha 12.26 Dokažte, že rekombinační čáry vodíku $ n_\alpha$, $ n_\beta$, $ n_\gamma$, $ n_\delta$ jsou ekvidistantní podle frekvence.



Úloha 12.27 Nechť mračno mezihvězdného plynu má hmotnost $ M$ a jeho úhlový poloměr je $ \varphi$. Dokažte, že pro vzdálenost mračna platí $ r\sim\frac{M^{2/5}}{\varphi
F^{1/5}}$, kde $ F$ je tok záření $ z$ mračna detekovaný na Zemi. Tento vztah odvodil Šklovskij pro určení vzdálenosti mlhovin za předpokladu, že pro jejich hmotnost platí $ M\sim\sqrt{LV}$.



Úloha 12.28 Odhadněte hustotu neutrálního vodíku podél zorného paprsku procházejícího přes mračno, při 10% absorpci ve středu čáry L$ _\alpha$. Koeficient absorpce ve středu čáry v přepočtu na 1 atom je $ \kappa_C\cong10^{-16}\,\mathrm{m}^{2}$, při předpokládané teplotě plynu přibližně $ 100\,$K.



Úloha 12.29 Mračno H I emituje spektrální čáru o vlnové délce $ 21\,$cm s optickou hloubkou v jejím středu $ \tau_{\mathrm{H}}=0,5$, jde o opticky tenkou čáru. Průměrná hustota plynu atomů v mračnu je $ n_{\mathrm{H}}=10\,\mathrm{cm}^{-3}$, teplota plynu je $ 100\,$K a šířka čáry, přepočítaná na rychlost je $ \Delta v=10\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Nalezněte tloušťku mračna $ l$.



Úloha 12.30 Částice kosmického záření jsou udržovány v Galaxii prostřednictvím magnetického pole. Určete poloměr dráhy relativistické částice s nábojem $ e$ a energií $ 10^3\,$GeV kolem siločar magnetického pole o magnetické indukci $ B \cong 5 . 10^{ -
10}\,$T.