4. Záření hvězd

Úloha 4.1 Pomocí bolometrů umístěných na družicích byla zjištěna přesná hodnota solární konstanty . Určete efektivní povrchovou teplotu Slunce, známe-li dále hodnoty poloměru $R_{\odot}$ a střední vzdálenosti Země od Slunce .

Úloha 4.2 Známe absolutní bolometrickou hvězdnou velikost a zářivý výkon Slunce. Stanovte vzájemné vztahy mezi absolutní bolometrickou hvězdnou velikostí hvězdy $M_{\mathrm{bol}}$ v mag, jejím zářivým výkonem ve W, pozorovanou bolometrickou hvězdnou velikostí $m_{\mathrm{bol}}$ v mag, vzdáleností hvězdy v pc a hustotou zářivého toku $F_{\mathrm{bol}}$ ve $\mathrm{W.m}^{-2}$ .

Úloha 4.3 Stanovte změnu zářivého výkonu hvězdy, jejíž poloměr se zmenší o $2\%$ a efektivní povrchová teplota se zvětší o $2\%$ .

Úloha 4.4 Hvězda má efektivní povrchovou teplotu $10\,000\,\mathrm{K}$ . Jak se zvýší zářivý výkon hvězdy, jestliže teplota naroste o $500\,\mathrm{K}$ ?

Úloha 4.5 Určete rozdíl absolutních bolometrických hvězdných velikostí dvou hvězd stejných poloměrů, jejichž efektivní povrchové teploty se liší o $10\%$ .

Úloha 4.6 U hvězdy $\alpha$ Tau Aldebarana K5 III byl zjištěn úhlový průměr $2\alpha = 0,021''$ . Naměřená hodnota hustoty zářivého toku dopadajícího na vnější část atmosféry Země od této hvězdy je $F_{\mathrm{bol}}= 3,2 . 10^{-8}\,\mathrm{W.m}^{-2}$ . Roční paralaxa $\pi = 0,050''$ . Stanovte poloměr a efektivní povrchovou teplotu hvězdy.

Úloha 4.7 Úhlový průměr hvězdy $\alpha$ CMi Procyona F5 IV-V je $2\alpha = 0,005''$ a roční paralaxa $\pi = 0,292''$ . Naměřená hodnota hustoty zářivého toku $F_{\mathrm{bol}}= 1,6 . 10^{ - 8}\,\mathrm{W.m}^{-2}$ . Určete poloměr a efektivní povrchovou teplotu hvězdy.

Úloha 4.8 U hvězdy $\alpha$ Cas Schedar K0 III s efektivní povrchovou teplotou $4\,500\,\mathrm{K}$ , nacházející se ve vzdálenosti $70\,\pc$ byla zjištěna hustota zářivého toku $F_{\mathrm{bol}}=1,65 . 10^{-9}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$ . Určete

, $M_{\mathrm{bol}}$ , $m_{\mathrm{bol}}$ , modul vzdálenosti a $\lambda_{\mathrm{max}}$ .

Úloha 4.9 Pro hvězdu nacházející se ve vzdálenosti $r = 10,4\,\pc$ byla zjištěna hustota zářivého toku $F_{\mathrm{bol}}= 1 . 10^{-8}\,\mathrm{W.m}^{-2}$ a efektivní povrchová teplota $T = 4\,800\,\mathrm{K}$ . Určete úhlový průměr hvězdy a zvažte, zda ho lze současnými interferometrickými metodami změřit. Odhadněte bolometrickou korekci, jestliže absolutní vizuální hvězdná velikost je $M_{\mathrm{V}}=1,03\,\mathrm{mag}$ . Údaje odpovídají hvězdě $\beta$ Gem Pollux K0 III.

Úloha 4.10 U Vegy byl zjištěn úhlový průměr $2 \alpha = 0,00324''$ a hustota zářivého toku $F_{\mathrm{bol}}= 2,84 . 10^{-8}\,\mathrm{W.m}^{-2}$ . Její vzdálenost je $r = 7,8\,\pc$ . Stanovte poloměr, efektivní povrchovou teplotu a zářivý výkon.

Lyra

Úloha 4.11 Efektivní povrchová teplota Vegy je $9\,500\,\mathrm{K}$ , její poloměr $2,7\,R_{\odot}$ . Vypočtěte zářivý výkon hvězdy a její absolutní bolometrickou hvězdnou velikost.

Úloha 4.12 Interferometrickou metodou byl určen úhlový průměr u hvězdy $\alpha$ Boo Arktura K1 III na . Zjištěná hodnota roční paralaxy je $\pi = 0,089''$ a hustota zářivého toku $F_{\mathrm{bol}}= 4,9 . 10^{-8}\,\mathrm{W.m}^{-2}$ . Stanovte poloměr a efektivní povrchovou teplotu Arktura.

Úloha 4.13 U Siria B byla zjištěna pozorovaná bolometrická hvězdná velikost $m_{\mathrm{bol}}=6,0\,\mathrm{mag}$ . Z výsledků měření družice Hipparcos byla stanovena roční paralaxa $\pi=0,379''$ . Určete absolutní bolometrickou hvězdnou velikost hvězdy.

Sirius

Úloha 4.14 Červený trpaslík spektrální třídy M4 Ve má efektivní povrchovou teplotu $3200\,\mathrm{K}$ a absolutní vizuální hvězdnou velikost $M_{\mathrm{V}}=13,4\,\mathrm{mag}$ . Pomocí v tabulkách nalezené bolometrické korekce $\mathrm{BC}=-2,3\,\mathrm{mag}$ nalezněte zářivý výkon a poloměr hvězdy.

Úloha 4.15 Rozdělení energie ve spojitém spektru Slunce G2 V je blízké rozložení intenzity záření černého tělesa s teplotou $5\,800\,\mathrm{K}$ . Proč rozložení intenzity záření ve spojitém spektru Vegy A0 V příliš neodpovídá rozložení intenzity záření černého tělesa s teplotou $9\,500\,\mathrm{K}$ ?

Úloha 4.16 Pod rozdělením energie ve spektru obvykle rozumíme rozdělení intenzity podle vlnových délek. Na jaké vlnové délce se však nachází maximum v rozdělení intenzity podle frekvence? Jako příklad použijeme Slunce, předpokládejme, že vyzařuje jako absolutní černé těleso s teplotou $5\,780\,\mathrm{K}$ .

Úloha 4.17 Určete úbytek hmotnosti Slunce prostřednictvím slunečního větru. Předpokládejte sféricky symetrické šíření slunečního větru meziplanetárním prostorem a výpočet proveďte za předpokladu, že veškerá hmotnost ze Slunce prochází sférou ve vzdálenosti $1\,\mathrm{AU}$ Je zadáno $v = 500\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ , $r = 1\,\mathrm{AU}$ , protonů. $\mathrm{cm}^{-3}$ .

Úloha 4.18 Vztah hmotnost - zářivý výkon pro hvězdy hlavní posloupnosti s velkou hmotností lze přibližně vyjádřit vztahem $\log\frac{L}{L_{\odot}}\cong 0,781+2,760\log\frac{M}{M_{\odot}}$ , kde je počáteční hmotnost. Úbytek hmotnosti hvězd v jednotkách $M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$ lze zachytit vztahem $\log\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}\cong-12,76+1,3\log\frac{L}{L_{\odot}}$ . Doba pobytu na hlavní posloupnosti je dána vztahem $\log\tau_{\mathrm{HP}}\cong7,719-0,655\log\frac{M}{M_{\odot}}$ . Určete úbytek hmotnosti hvězdy na hlavní posloupnosti, jestliže počáteční hmotnosti hvězd byly $25\,M_{\odot}$ , $60\,M_{\odot}$ , $120\,M_{\odot}$ .

Zářivý výkon a efektivní teplota pro hvězdy na hlavní posloupnosti a při odchodu z ní

Úloha 4.19 V jaké vzdálenosti od Slunce se nachází fokusační bod F gravitační čočky? Mohou Slunce respektive Proxima Centauri sloužit jako gravitační čočky?

Schéma gravitační čočky

Úloha 4.20 Hvězda 18 Sco (HD146233) je svými charakteristikami velmi podobná našemu Slunci. Její zářivý výkon je o $5\,\%$ větší než sluneční, zatímco efektivní teplota je o $90\,\mathrm{K}$ nižší než sluneční. Určete poloměr hvězdy.

Úloha 4.21 Nejjasnější hvězda na obloze Sirius A se nachází ve vzdálenosti $r = 2,64\,\pc$ . Bolometrickým měřením na družicích obíhajících kolem Země byla naměřena od této hvězdy hustota zářivého toku $1,33.10^{-7}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$ . Její teplota je $10\,300\,\mathrm{K}$ , určete poloměr.

Úloha 4.22 Hvězda $\alpha$ Cen A má roční paralaxu $\pi = 0,742''$ , interferometricky zjištěný úhlový poloměr je $\alpha = 4,3.10^{-3}''$ . Bolometrem na družici obíhající kolem Země byla zjištěna hustota zářivého toku od této hvězdy bol $= 2,7.10^{-8}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$ . Určete efektivní povrchovou teplotu hvězdy.

Úloha 4.23 U hvězdy $\alpha$ Cen A byl naměřen pokles hustoty zářivého toku o $1\,\%$ . O kolik stupňů poklesla efektivní povrchová teplota $\alpha$ Cen A, jestliže původní teplota dosahovala $5\,790\,$ K?

Úloha 4.24 Hvězda Altair se nachází ve vzdálenosti $r = 5,14\,\pc$ , její úhlový poloměr je $\alpha=0,8.10^{-8}\,\mathrm{rad}$ , efektivní teplota $T_{\mathrm{ef}}= 7\,680\,\mathrm{K}$ . Na základě těchto údajů lze vypočítat zářivý výkon hvězdy. Můžeme ověřit správnost vypočítané hodnoty zářivého výkon bolometrickým měřením hustoty zářivého toku, jestliže prahová citlivost bolometru umístěného na družici k určení hustoty zářivého toku je $10^{-8}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$ ?

Úloha 4.25 První objevený hnědý trpaslík Gl 229 B se vyznačuje roční paralaxou $\pi = 0,175''$ . Maximum intenzity vyzařování jeho spojitého spektra připadá na vlnovou délku $2,9\,\mu\mathrm{m}$ , poloměr je $0,94\,R_$ J. Odhadněte, jaká musí být minimální prahová citlivost bolometru umístěného na družici obíhající Zemi k detekci hustoty zářivého toku od tohoto hnědého trpaslíka.

Úloha 4.26 Předpokládejte znalost zářivého výkonu $3,86.10^{26}\,\mathrm{W}$ a absolutní bolometrickou hvězdnou velikost Slunce $M_{\mathrm{bol}}= 4,75\,\mathrm{mag}$ . Stanovte vzdálenost, do které by bylo možné pozorovat lidským zrakem Slunce při jeho hypotetickém vzdalování od Země. Odhadněte počet fotonů dopadajících do oka za jednu sekundu. Pro jednoduchost předpokládejte, že všechny fotony mají stejnou vlnovou délku $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ , plochu lidského oka zvolte $1\,$ cm.