5. Základy hvězdné spektroskopie



Úloha 5.1 Vyjádřete energii fotonů [eV] charakterizujících
a) Lymanovu hranu o  $ \lambda = 91,2 \,\mathrm{nm}$
b) nebulární čáru O III $ \lambda = 500,7 \,\mathrm{nm}$
c) čáru $ \mathrm{H}_{\alpha}$ Balmerovy série vodíku $ \lambda = 656,3 \,\mathrm{nm}$
d) emisní čáru NH$ _3$ $ \lambda = 1,3 \,\mathrm{cm}$.
e) čáru neutrálního vodíku $ \lambda = 21 \,\mathrm{cm}$.



Úloha 5.2 Vypočtěte pět nejnižších energetických hladin atomu vodíku. Ve spektrech kvasarů je zpravidla dominantní spektrální čára $ \mathrm{L}_{\alpha}$, vznikající při přechodu z energetické hladiny $ n = 2$ na hladinu $ n = 1$. Určete její vlnovou délku.



Úloha 5.3 Stanovte vlnovou délku světla vyzářeného atomem vodíku při přechodu z energetické hladiny $ n = 6$ na hladinu $ n = 2$. O jakou sérii a barvu jde?



Úloha 5.4 Lze z povrchu Země pozorovat čáry mezihvězdného vodíku vznikající při přechodu z desáté na devátou energetickou hladinu?



Úloha 5.5 Jakou spektrální čáru můžeme očekávat ve viditelné části spektra protuberance při excitaci vodíkových atomů elektrony o energii $ 2,0\,\mathrm{eV}$?



Úloha 5.6 Vypočítejte minimální energii elektronů, které jsou schopny excitovat kyslíkové ionty O III na první B - $ {}^{1}\mathrm{D}_2$ a druhou C - $ {}^{1}\mathrm{S}_0$ metastabilní energetickou hladinu, na které mohou atomy v astrofyzikálních podmínkách setrvávat sekundy až minuty. Víme, že zakázaná čára vznikající při přechodu C $ \rightarrow$B má vlnovou délku [O III] $ \lambda = 436,3\,\mathrm{nm}$ a při přechodu z B $ \rightarrow$A [O III] $ \lambda = 500,7 \,\mathrm{nm}$. Jaká je potřebná kinetická teplota $ T_\mathrm{k}$ k tomu, aby se atomy dostaly na energetické metastabilní hladiny B a C?

Planetární mlhovina


Úloha 5.7 Prvek helium byl poprvé pozorován francouzským astronomem P. J. C. Jansenem 18. srpna 1868 v Indii ve spektru protuberance v průběhu úplného zatmění Slunce. Žlutá spektrální čára, tehdy označená $ \mathrm{D}_{3}$, o vlnové délce $ 587,6\,\mathrm{nm}$, se nacházela v blízkosti čar sodíku $ \mathrm{D}_{1}$ a $ \mathrm{D}_{2}$. Ve skutečnosti je tripletem čar $ 587,562 \,\mathrm{nm}$, $ 587,565 \,\mathrm{nm}$ a $ 587,599 \,\mathrm{nm}$, rozlišitelným pouze vysokodisperzními spektrografy. Stanovte energii vyšší energetické hladiny, z níž při přechodu na nižší hladinu $ 20,88\,\mathrm{eV}$ čára vzniká.

Zatmění Slunce


Úloha 5.8 Vypočítejte nejpravděpodobnější rychlost atomů vodíku a železa ve sluneční koróně při teplotě $ 10^6\,\mathrm{K}$. Porovnejte tuto rychlost s parabolickou rychlostí u Slunce.



Úloha 5.9 Dokažte, že gravitační pole Slunce nemůže udržet elektrony ve sluneční koróně, která má teplotu $ 10^6\,\mathrm{K}$. Zdůvodněte, proč však přesto zůstávají v koróně Slunce.



Úloha 5.10 Kolik vrypů na mm musí mít difrakční mřížka, aby ve spektru II. řádu bylo možné rozlišit čáry sodíkového dubletu, u kterých jsou vlnové délky $ 589,0\,\mathrm{nm}$ a $ 589,6\,\mathrm{nm}$? Stanovte lineární vzdálenost mezi uvedenými čarami na spektrogramu ve spektru I. řádu získaného mřížkou s 600 vrypy na mm, jestliže ohnisková vzdálenost kamery je $ f = 0,8\,\mathrm{m}$?



Úloha 5.11 Ve spektrech některých obrů spektrální třídy K pozorujeme výrazné čáry lithia s vlnovými délkami $ 670,776\,\mathrm{nm}$ a $ 670,791\,\mathrm{nm}$. Patří přechodům $ 2\,{}^2P_{1/2}\rightarrow2\,{}^2S_{1/2}$, $ 2\,{}^2P_{3/2}\rightarrow2\,{}^2S_{1/2}$. Kolik vrypů na 1 mm musí mít difrakční mřížka s šířkou $ D = 4\,\mathrm{cm}$, aby umožňovala v prvním řádu rozlišit uvedené vlnové délky?

Sluneční spektrum


Úloha 5.12 Určete, který z posuvů spektrálních čar, gravitační či dopplerovský vyvolaný rotací u Slunce převládá. Rovníková rychlost převracející vrstvy Slunce je $ 1,93\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, k zjištění posuvů použijte čáru $ \mathrm{H}_{\beta}$ o vlnové délce $ \lambda = 486,1\,\mathrm{nm}$.



Úloha 5.13 Při zvláště přesných měřeních radiálních rychlostí je třeba provádět rovněž opravu na pohyb Země kolem hmotného středu soustavy Země - Měsíc, tzv. barycentra. Střední rychlost tohoto pohybu je $ 12,4\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$. Porovnejte velikost této opravy s relativistickou korekcí na příčný kvadratický Dopplerův jev při změnách rychlosti o 
a) $ 30\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$
b) $ 300\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.



Úloha 5.14 Ve vysocedisperzním spektru Slunce u vodíkové čáry $ \mathrm{H}_{\beta}$ o vlnové délce $ \lambda= 486,133\,\mathrm{nm}$ byla nalezena další čára o vlnové délce $ \lambda = 485,998\,\mathrm{nm}$. Předpokládejme, že tato čára patří izotopu vodíku. Určete o jaký izotop jde.



Úloha 5.15 Nalezněte šířku spektrální čáry Fe XIV o vlnové délce $ \lambda = 530,3\,\mathrm{nm}$ pocházející ze sluneční emisní koróny o teplotě $ 10^6\,\mathrm{K}$.



Úloha 5.16 Stanovte šířku $ \Delta\lambda$ pro teplotní rozšíření čáry K Ca II o vlnové délce $ \lambda = 393,4\,\mathrm{nm}$ pro atmosféry červených obrů s teplotami $ 3\, 000\,\mathrm{K}$, $ 5\, 000 \,\mathrm{K}$. Diskutujte výsledek s ohledem na význam teploty pro rozšíření této čáry. Jak ovlivňuje velikost šířky spektrálních čar rozdílná hmotnost jednotlivých atomů např. u vodíku, helia, vápníku a železa?



Úloha 5.17 Určete šířku spektrální čáry kyslíku O III s vlnovou délkou $ \lambda = 500,7 \,\mathrm{nm}$, kterou můžeme identifikovat ve spektru plynné emisní mlhoviny o teplotě $ 10\,000\,\mathrm{K}$.



Úloha 5.18 Vypočítejte šířku čáry $ \mathrm{H}_{\alpha}$, znáte-li že pro rozšíření spektrálních čar srážkami platí $ \Delta\lambda \cong \frac{\lambda^2}{c}\frac{1}{\pi\Delta t_0}\cong\frac{\lambda^2}{c}\frac{n\sigma}{\pi}\left(\frac{2kT}{m}\right)^{1/2}$. Předpokládáme vodíkové atomy ve sluneční fotosféře při teplotě $ 5\,780\,\mathrm{K}$ a hustotě atomů $ 1,5 . 10^{23}\,\mathrm{m}^{-3}$, $ \sigma=3,6.10^{-20}\,\mathrm{m}^2$.

Fraunhoferovy čáry

Fraunhoferův obrázek spektra



Úloha 5.19 Odhadněte pomocí výpočtu minimální šířku Fraunhoferových čar vodíku ve spektru Slunce. Porovnejte vypočtené šířky spektrálních čar s tabelovanými údaji o ekvivalentních šířkách nejmohutnějších čar v následující tabulce. Přitom mějte na paměti definici ekvivalentní šířky.

$ \lambda\,[\mathrm{nm}]$ ekvivalentní šířka $ [\mathrm{nm}]$ prvek, iont
$ 393,3682 $ $ 2,0253 $ Ca II
$ 396,8492 $ $ 1,5467 $ Ca II
$ 656,2808 $ $ 0,4020 $ $ \mathrm{H}_{\alpha}$
$ 486,1342 $ $ 0,3680 $ $ \mathrm{H}_{\beta}$
$ 410,1748 $ $ 0,3133 $ $ \mathrm{H}_{\delta}$
$ 434,0475 $ $ 0,2855 $ $ \mathrm{H}_{\gamma}$
$ 518,3619 $ $ 0,1584 $ Mg I 
$ 385,9922 $ $ 0,1554 $ Fe I 
$ 422,6740 $ $ 0,1476 $ Ca I 
$ 517,2698 $ $ 0,1259 $ Mg I 
$ 404,5825 $ $ 0,1174 $ Fe I 
$ 438,3557 $ $ 0,1008 $ Fe I 
$ 516,7327 $ $ 0,0935 $ Mg I 
$ 388,6294 $ $ 0,0920 $ Fe I 
$ 440,4761 $ $ 0,0898 $ Fe I 
$ 390,5532 $ $ 0,0816 $ Si I 
$ 406,3605 $ $ 0,0787 $ Fe I 
$ 588,9973 $ $ 0,0752 $ Na I 
$ 407,1749 $ $ 0,0723 $ Fe I 
$ 589,5940 $ $ 0,0564 $ Na I 



Úloha 5.20 Doba existence elektronu v prvním a druhém excitovaném stavu u atomu vodíku je přibližně $ \Delta t = 10^{-8}\,\mathrm{s}$. Určete velikost přirozené šířky čáry $ \mathrm{H}_{\alpha}$ o vlnové délce $ \lambda = 656,3 \,\mathrm{nm}$.



Úloha 5.21 Spektrální čára o vlnové délce $ \lambda = 532,0\,\mathrm{nm}$ vzniká jako výsledek přechodu mezi dvěma nabuzenými stavy atomu, jejichž střední doba života je rovna $ 12\,\mathrm{ns}$ a $ 20\,\mathrm{ns}$. Určete přirozenou šířku čáry $ \Delta\lambda$.



Úloha 5.22 Určete přirozenou šířku spektrální čáry pro $ \lambda = 500\,\mathrm{nm}$ a konstantu útlumu $ \gamma = 10^8\,\mathrm{s}^{-1}$.



Úloha 5.23 Nechť teoreticky uvažovaná hvězda spektrální třídy B0 V má periodu vlastní rotace $ P = 2\,\mathrm{dny}$. Nalezněte charakteristickou šířku čáry ve spektru této hvězdy ve vizuální oblasti spektra pro čáru $ \mathrm{H}_{\beta}$, $ \lambda = 486,1\,\mathrm{nm}$, předpokládáme-li, že osa rotace je kolmá k zornému paprsku. Uvedená hvězda má poloměr $ 7,5\,R_{\odot}$.



Úloha 5.24 Velmi široké čáry způsobené rotačním rozšířením pozorujeme u hvězd spektrální třídy A. Jestliže pro čáru $ \mathrm{H}_{\gamma}$ o vlnové délce $ 434,0\,\mathrm{nm}$ jedné hvězdy byla zjištěna šířka čáry $ \Delta\lambda_r=0,08\,\mathrm{nm}$, jakých hodnot dosahuje $ v_{\mathrm{rot}} \sin i$?



Úloha 5.25 Jaký vliv má ztemnění na okraji disku hvězdy na rozšíření spektrálních čar vyvolaném rotací hvězdy?



Úloha 5.26 Spektrograf může rozlišit posun vlnových délek $ 0,001\,\mathrm{nm}$. Jaká je minimální velikost magnetické indukce, kterou lze zjistit u hvězdy na vlnové délce  $ 450\,\mathrm{nm}$.



Úloha 5.27 Odhadněte očekávanou velikost magnetické indukce hvězdy stejného typu jako Slunce s dobou rotace $ 10^6\,\mathrm{s}$, $ R = 10^8 \,\mathrm{m}$, $ T = 6 . 10^3\,\mathrm{K}$, kterou lze na základě měření Zeemanova jevu zjistit v optické oblasti spektra prostřednictvím čáry Fe I o vlnové délce $ 630,25\,\mathrm{nm}$.



Úloha 5.28 U hvězdy HD 215 441 o povrchové teplotě $ 15\ 000 \,\mathrm{K}$ a rotační rovníkové rychlosti v radiálním směru $ 5\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ bylo zjištěno rozštěpení spektrální čáry Cr II o vlnové délce $ 455,8\,\mathrm{nm}$ v důsledku Zeemanova jevu $ \Delta\lambda = 0,03\,\mathrm{nm}$. Určete velikost magnetické indukce $ B$. Je rozštěpení reálně zjistitelné při fotosférických podmínkách této hvězdy?



Úloha 5.29 Zeemanovské rozštěpení můžeme rovněž pozorovat u velkých slunečních skvrn, kde se vyskytují silná magnetická pole směřující radiálně k povrchu Slunce. Určete velikost magnetické indukce skvrny, jestliže rozštěpení zelené spektrální čáry železa o vlnové délce $ \lambda = 525,0216 \,\mathrm{nm}$ činí $ \Delta\lambda = 0,004\,\mathrm{nm}$. Jaké rychlosti by odpovídal tento posuv, jestliže by byl vyvolán dopplerovským posuvem v důsledku radiálního pohybu.

Zeemanovské rozštěpení


Úloha 5.30 Rotační osa hvězdy je kolmá ke směru k Zemi, její rotační rovníková rychlost je $ 100\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Lze při této hodnotě rychlosti pozorovat zeemanovské rozštěpení čáry o vlnové délce $\lambda = 430\,\mathrm{nm}$, předpokládáme-li velikost magnetické indukce $ 0,1\,\mathrm{T}$?

Čáry lithia

Intenzitní záznam v okolí lithiových čar