6. Nitro hvězd



Úloha 6.1 Určete množství uvolněné energie při vzniku 1 jádra atomu helia ze čtyř jader atomů vodíku. Porovnejte s množstvím energie uvolňovaným při 3$ \alpha$ procesu.



Úloha 6.2 Najděte vazebnou energii jádra atomu lithia $ {}_3^7\mathrm{Li}$, jestliže hmotnost atomu $ M_{\mathrm{Li}} = 7,01601\,\mathrm{u}$, Hmotnost protonu je $ 1,00783\,\mathrm{u}$, hmotnost neutronu je $ 1,00867\,\mathrm{u}$.



Úloha 6.3 Určete minimální hmotnost hvězdy, aby centrální teplota umožňovala průběh termonuklárních reakcí. Předpokládáme rozložení hustoty $ \rho=\rho_\mathrm{c}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]$, chemické složení shodné se Sluncem, $ \mu=0,61$, hvězdná látka je nedegenerována. Pro pp řetězec je nezbytná minimální teplota $ 4.10^6\,\mathrm{K}$, pro CNO cyklus $ 15.10^6\,\mathrm{K}$, $ 3\alpha$ reakce $ 10^8\,\mathrm{K}$.



Úloha 6.4 Termonukleární reakce probíhající ve Slunci byly v šedesátých létech minulého století ověřovány R. Davisem při sledování toku neutrin ze Slunce pomocí chlór-argonové reakce

$\displaystyle \nu+{}_{17}^{37}\mathrm{Cl}\rightarrow e^{-}+{}_{18}^{37}\mathrm{Ar}-0,814\,\mathrm{MeV}.$

Při ní jádro izotopu chlóru zachytí neutrino a přemění se na jádro izotopu argónu, má-li energii větší než $ 0,814\,\mathrm{MeV}$. Střední účinný průřez reakce je $ \sigma = 2 . 10^{-46}\,\mathrm{m^2}$. Předpokládáme, že Slunce vyzařuje za sekundu $ N = 3 . 10^{33}$ vysoce energetických neutrin s energií $ 6,7\,\mathrm{MeV}$, vznikajících při reakci $ {}_5^8\mathrm{B}\rightarrow{}_4^8\mathrm{Be}+e^++\nu$. Určete nezbytné množství perchloretylénu $ \mathrm{C}_2\mathrm{Cl}_{4}$, aby v něm vzniklo za rok 100 atomů $ {}_{18}^{37}\mathrm{Ar}$. V přírodní směsi izotopů chlóru je obsaženo podle hmotnosti $ \eta = 25 \%$ jader $ {}_{17}^{37}\mathrm{Cl}$, střední poloměr dráhy Země kolem Slunce volte $ r = 1,5 . 10^{11}\,\mathrm{m}$.



Úloha 6.5 Centrální teploty dvou hvězd jsou $ T_1=2.10^8\,\mathrm{K}$ a $ T_2=1,8.10^8\,\mathrm{K}$. Stanovte poměr množství uvolňované energie v nitrech obou hvězd.



Úloha 6.6 Porovnejte vlastnosti elektromagnetického záření ve středu Slunce a na jeho povrchu, předpokládáme-li $ T_{\mathrm{C}} = 1,5 . 10^7\,\mathrm{K}$ a $ T_{\mathrm{P}} = 5,8 . 10^3\,\mathrm{K}$.



Úloha 6.7 Odhadněte poměr počtu fotonů a neutrin vyzařovaných Sluncem za 1 sekundu. Při termonukleární syntéze prostřednictvím pp řetězce se uvolňuje energie $ 26,8\,\mathrm{MeV}$, přičemž neutrina odnáší asi 2-5% této energie.

Slunce v čáře H alfa


Úloha 6.8 Odhadněte hodnotu centrálního tlaku v nitru Slunce.



Úloha 6.9 Předpokládejme v nitru Slunce jednoatomový plyn, pro adiabatickou rychlost zvuku platí vztah $ v_z=\left(\frac{\gamma P}{\rho}\right)^{1/2}$. Za jak dlouho zvukové vlny projdou poloměrem Slunce?



Úloha 6.10 Odhadněte centrální tlak a teplotu ve hvězdě hlavní posloupnosti s poloměrem $ 1,3\,R_{\odot}$ a hmotností $ 1,8\,M_{\odot}$. Pro zjednodušení předpokládáme stejnou stavbu a chemické složení jako má Slunce.



Úloha 6.11 Podle standardního modelu nitra má hvězdná látka v centrální části Slunce hustotu $ 1,48 . 10^5\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ a teplotu $ 1,56 . 10^7\,\mathrm{K}$, hmotnostní zastoupení vodíku $ X = 0,73$ a helia $ Y = 0,27$, příspěvek těžších prvků lze v prvním přiblížení zanedbat. Vypočtěte tlak, který zde působí za předpokladu, že vodík a helium jsou plně ionizovány a chovají se jako ideální plyn. Vypočtěte rovněž tlak záření a oba tlaky porovnejte. Střední relativní hmotnost připadající na jednu částici směsi označíme  $ \mu_\mathrm{r}$



Úloha 6.12 Posuďte, zda může existovat degenerace v nitru Slunce ( $ T_{\mathrm{c}}=1,5.10^7\,\mathrm{K}$, $ \rho_{\mathrm{c}}=1,5.10^5\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$).



Úloha 6.13 Odvoďte vztah pro rovnováhu gravitační a tlakové síly v nitru hvězd při předpokládané polytropní závislosti tlaku na hustotě.



Úloha 6.14 Určete centrální tlak ve hvězdě spektrální třídy B0 o poloměru $ 8\,R_{\odot}$, hmotnosti $ 15\,M_{\odot}$, centrální teplota je odhadována na $ 3,4 . 10^7\,\mathrm{K}$, $ \mu_\mathrm{r}= 0,7$.



Úloha 6.15 Ve hvězdě o hmotnosti $ M$ hustota klesá od středu k povrchu jako funkce radiální vzdálenosti $ r$ podle vztahu $ \rho=\rho_\mathrm{c}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]$, kde $ \rho_\mathrm{c}$ je daná konstanta a $ R$ je poloměr hvězdy. Nalezněte:
a) $ m(r)$,
b) odvoďte závislost mezi $ M$ a $ R$,
c) ukažte, že průměrná hustota hvězdy je $ 0,4\,\rho_\mathrm{c}$.



Úloha 6.16 Pro hvězdu o hmotnosti $ M$ a poloměru $ R$ nalezněte centrální tlak a prověřte pl atnost nerovnice $ p_\mathrm{c}>\frac{GM^2}{8\pi R^4}$ pro případy
a) stejné, konstantní hustoty ve hvězdě
b) pro hustotu platí závislost $ \rho=\rho_\mathrm{c}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]$.



Úloha 6.17 Hvězda spektrální třídy B0 V má hmotnost $ \sim 15\,M_{\odot}$. S využitím vztahu hmotnost - zářivý výkon $ L\sim M^4$ odhadněte střední hustotu hvězdy.



Úloha 6.18 Jsou zadány dvě hvězdy se spektrálními třídami K0 V a K0 I.
a) určete poměr zrychlení na povrchu obou hvězd
b) stanovte poměr středních hustot těchto hvězd
Tabulkové hodnoty charakteristik hvězd jsou pro K0 V:  $ 0,8\,M_{\odot}$; $ 0,85\,R_{\odot}$; $ 5\,100\,\mathrm{K}$ a pro K0 I : $ 13\,M_{\odot}$; $ 200\,R_{\odot}$; $ 4\,100\,\mathrm{K}$.



Úloha 6.19 Efektivní povrchová teplota Siria A je $ 9\,400\,\mathrm{K}$, poloměr $ 1,8\,R_{\odot}$ a hmotnost $ 2,2\,M_{\odot}$. Určete zářivý výkon v jednotkách zářivého výkonu Slunce, absolutní bolometrickou hvězdnou velikost, průměrnou hustotu a odhadněte centrální teplotu.



Úloha 6.20 Dokažte, že střední relativní hmotnost připadající na jednu částici směsi plně ionizovaných atomů v nitru hvězd je rovna $ \mu_\mathrm{r}=\frac{2}{1+3X+0,5Y}$, kde $ X$, $ Y$, $ Z$ označuje relativní množství vodíku, helia a ostatních prvků.



Úloha 6.21 Jak se bude měnit střední relativní hmotnost $ \mu_\mathrm{r}$ částic sluneční látky, při předpokladu $ X = 0,70$, $ Y = 0,30$ budeme-li hypoteticky postupovat od středu k povrchu Slunce. Rozlišujte případy:
a) helium a vodík jsou plně ionizovány
b) helium a vodík jsou $ 1\times$ ionizovány
c) helium je neutrální a vodík je zcela ionizován
d) oba plyny jsou neutrální.



Úloha 6.22 Odvoďte vztah hmotnost - zářivý výkon pro hvězdy na hlavní posloupnosti (HP) za předpokladu, že koeficient střední opacity $ \kappa$ je konst. v celém průřezu hvězdy, tedy opacita nezávisí na teplotě a je stejná u hvězd různých hmotností. Jde o Thomsonův rozptyl na volných elektronech.



Úloha 6.23 Odvoďte vztah pro Eddingtonovu limitu maximálního zářivého výkonu hvězdy. Při odvození předpokládáme platnost rovnice hydrostatické rovnováhy, rovnost gravitační síly a síly tlaku záření, v chemickém složení uvažujeme pouze vodík.



Úloha 6.24 Stanovte Eddingtonovu limitu zářivého výkonu hvězdy s hmotností $ 0,085\,M_{\odot}$ za předpokladu, že pro opacitu v blízkosti povrchu hvězdy je dominantní elektronový rozptyl, jehož hodnota je dána vztahem $ \kappa\cong\left(1+X\right)\,0,02\,\mathrm{m}^2.\mathrm{kg}^{-1}$. Při $ X = 0,7$ dostáváme $ \kappa\cong0,034\,\mathrm{m}^2.\mathrm{kg}^{-1}$. Je tlak záření podstatný pro stabilitu hvězd nízké hmotnosti na hlavní posloupnosti?



Úloha 6.25 Užitím podmínky $ L\le L_\mathrm{Ed}$, kde $ L_\mathrm{Ed}$ je dán rovnicí $ L_\mathrm{Ed}=\frac{4\pi Gc}{k}M$ odvoďte horní limitu pro hmotnost a zářivý výkon hvězd hlavní posloupnosti za zjednodušujícího předpokladu vztahu hmotnost - zářivý výkon $ \frac{L}{L_{\odot}}=\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^3$.



Úloha 6.26 Prostřednictvím rovnice hydrostatické rovnováhy určete, za jak dlouho se zmenší poloměr Slunce o 2%, jestliže by 10% gravitačních sil nebylo vyrovnáváno tlakovými silami.



Úloha 6.27 Za předpokladu přenosu energie v nitru hvězdy zářením dokažte, že teplotní gradient je určen výrazem $ \frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}r}=-\frac{3\kappa L_r}{64\pi\sigma r^2T^3}\rho$.



Úloha 6.28 Určete, zda v místě $ r=0,9\,R_{\odot}$ od středu Slunce probíhá přenos energie konvekcí nebo zářením. Parametry zvoleného místa jsou následující: $ \rho=1,5\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$, $ \kappa=10\,\mathrm{m}^2.\mathrm{kg}^{-1}$, $ T=4.10^5\,\mathrm{K}$, $ \gamma=\frac{c_p}{c_V}=\frac{5}{3}$, $ P=8,7.10^{9}\,\mathrm{Pa}$.



Úloha 6.29 Dokažte, že v centrální oblasti Slunce nenastává přenos energie konvekcí. Velikost zářivého výkonu uvolňovaného na jednotku hmotnosti je odhadována na $ 1,35 . 10^{-3}\,\mathrm{W}.\mathrm{kg}^{ -1}$, $ \gamma=\frac{5}{3}$, $ P = 3,20 . 10^{ 16}\,\mathrm { Pa}$, $ T = 1,56 . 10^7\,\mathrm{K}$, $ \kappa= 0,138\,\mathrm {m}^2.\mathrm{ kg}^{ - 1}$.



Úloha 6.30 Předpokládejme střední hustotu Slunce $ 1,4 . 10^3\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ a střední opacitu v nitru Slunce pro ionizovaný vodík $ \kappa = 0,1 \,\mathrm{m}^2. \mathrm{kg}^{-1}$. Určete střední volnou dráhu fotonu ve středu Slunce a střední teplotní gradient. Za zjednodušujícího předpokladu, že střední volná dráha fotonu směrem k povrchu je stále stejná, odhadněte charakteristický čas, za který foton dospěje z nitra k povrchu Slunce.



Úloha 6.31 Odvoďte vztah pro periodu radiálních pulsací cefeid s využitím rovnice hydrostatické rovnováhy. Oscilace pulsujících hvězd jsou důsledkem rezonance zvukových vln rezonujících ve hvězdném nitru.

Schéma CNO cyklu