7. Hvězdné atmosféry

Úloha 7.1 Vyjádřete Boltzmannovu a Sahovu rovnici v logaritmickém tvaru vhodném pro výpočty.

Úloha 7.2 Jaká část atomů vodíku bude excitována na druhou energetickou hladinu ve fotosféře Slunce, předpokládáme-li její teplotu $5\,780\,\mathrm{K}$ ? Nechť je základní první energetická hladina, je druhá hladina, dále je zadáno $\chi_{AB} = 10,16\,\mathrm{eV}$ , , .

Úloha 7.3 Vypočítejte podíl atomů vodíku excitovaných na druhou energetickou hladinu u hvězd s hodnotami teplot fotosfér (zaokrouhleno) $5\,780\,\mathrm{K}$ - Slunce, $9\,500\,\mathrm{K}$ - Vega a $15\,000\,\mathrm{K}$ - Rigel. Jaký závěr odtud vyplývá pro intenzitu spektrálních čar atomu vodíku?

Úloha 7.4 Nechť je základní první energetická hladina iontu O III (ve skutečnosti se skládá ze tří velmi blízkých hladin ${}^3P_{0,1,2}$ ). Excitační potenciál $\chi_{AB} = 2,48\,\mathrm{eV}$ , , . Určete počet atomů nacházejících se na druhé energetické hladině (přesnější označení je ${}^1D_2$ ) při teplotě $10\,000\,\mathrm{K}$ ?

Úloha 7.5 Užitím Sahovy rovnice vypočítejte poměr počtu $\mathrm{H}^{-}$ iontů a neutrálních vodíkových atomů ve fotosféře Slunce. Za teplotu zvolte $5\,780\,\mathrm{K}$ , tedy efektivní povrchovou teplotu, elektronový tlak předpokládejte $\log P_e = 0,2\,\mathrm{Pa}$ , $\chi_i = 0,75\,\mathrm{eV}$ . Pauliho vylučovací princip vyžaduje existenci jednoho stavu pro iont, tudíž oba elektrony musí mít opačné spiny. V atmosféře Slunce pouze jeden z vodíkových atomů vytváří podle reakce $\mathrm{H} + \mathrm{e}^- \rightarrow \mathrm{H}^{-}+ \gamma$ iont $\mathrm{H}^{-}$ .

Úloha 7.6 Stanovte poměr počtu atomů $\mathrm{N}_1$ ionizovaného a $\mathrm{N}_0$ neutrálního sodíku ve fotosféře Slunce při teplotě $T = 5\,780\,\mathrm{K}$ a elektronovém tlaku $\log P_e = 0,2\,\mathrm{Pa}$ , ionizační potenciál Na II je $\chi_1=5,14\,\mathrm{eV}$ , korekční člen $\log\frac{2B_{1}(T)}{B_{0}(T)}=-0,08$ .

Úloha 7.7Určete relativní množství Fe II ve fotosféře Siria A, kde předpokládáme přibližně $T = 10\,000\,\mathrm{K}$ , $\log P_e = 1,48\,\mathrm{Pa}$ . První ionizační potenciál je $\chi_1 = 7,87\,\mathrm{eV}$ , korekční člen $\log\frac{2B_{1}(T)}{B_{0}(T)}=0,36$ . Do jaké míry je železo dvakrát ionizováno, jestliže druhý ionizační potenciál je $\chi_2 = 16,18\,\mathrm{eV}$ a $\log\frac{2B_{2}(T)}{B_{1}(T)}=-0,08$

Úloha 7.8 Teplota fotosféry bílého trpaslíka DF Procyonu B je rovna $T = 8\,400\,\mathrm{K}$ při elektronovém tlaku $\log P_e = 1,36\,\mathrm{Pa}$ . Jaká musí být teplota obra, aby prvky s ionizačními potenciály $\chi_i = 4\,\mathrm{eV}$ a $\chi_i = 8\,\mathrm{eV}$ se vyznačovaly stejným stupněm ionizace. Předpokládejme elektronový tlak ve fotosféře obra $\log P_e = 1,00\,\mathrm{Pa}$ .

Úloha 7.9 V kterém typu hvězdy, u červeného obra nebo trpaslíka hlavní posloupnosti bude probíhat výrazněji ionizace; u trpaslíka předpokládáme teplotu fotosféry $T = 5\,200\,\mathrm{K}$ a elektronový tlak $\log P_e = -0,50\,\mathrm{Pa}$ u obra $T = 4\,500\,\mathrm{K}$ a $\log P_e = - 1,80\,\mathrm{Pa}$ . Ionizační potenciály nechť jsou $\chi_i = 5,14\,\mathrm{eV}$ pro Na a $\chi_i = 7,87\,\mathrm{eV}$ pro Fe.

Úloha 7.10 Výpočtem doložte závěry spektroskopických pozorování, že čáry neutrálního vápníku Ca I mají větší intenzitu u trpaslíků než obrů pozdních spektrálních tříd. Předpokládáme stejnou teplotu obou hvězd $3\, 150 \,\mathrm{K}$ , ionizační potenciál vápníku je $\chi_i = 6,11 \,\mathrm{eV}$ . Hodnota elektronového tlaku u obra $\log P_e = - 2,7\,\mathrm{Pa}$ , v případě trpaslíka $\log P_e = - 1,2\,\mathrm{Pa}$ . Korekční člen pro vápník má při zadané teplotě hodnotu .

Úloha 7.11 Ve viditelné části spektra Slunce jsou nejintenzivnějšími čáry H a K Ca II, nikoliv čáry balmerovské série vodíku. Objasněte, proč tomu tak je, závěry doložte výpočtem!

Spektrum Slunce v optickém oboru

Úloha 7.12 Odhadněte pomocí výpočtu možný počet pozorovaných oddělených spektrálních čar Balmerovy série vodíku. Zjednodušeně předpokládáme, že šířka čar závisí na elektronové hustotě podle Starkova lineárního rozšíření. Využijte Inglisova - Tellerova vztahu $\log N_\mathrm{e} = 23,2 - 7,5 \log n_{\text{Bč}}$ .

Spojité, absorpční a emisní spektrum

Úloha 7.13 Proč ve spektru sluneční chromosféry pozorujeme více čar Balmerovy série vodíku než ve spektrech bílých trpaslíků?

Úloha 7.14 Vysvětlete, proč Balmerovy čáry vodíku jsou pozorovatelné přibližně
a) do 5. čáry u bílých trpaslíků - např. Sirius B
b) do 15. čáry u hvězd hlavní posloupnosti - např. Sirius A
c) do 25. čáry u veleobrů - např. Betelgeuze.
Spetrální čáry Balmerovy série jsou rozšířeny srážkami. Jejich vzdálenost se s rostoucím číslem čáry zmenšuje.

Úloha 7.15 Pro fotosféru hvězdy bylo stanoveno z intenzity čar Balmerovy série, že logaritmus počtu atomů vodíku, nacházejících se na druhé energetické hladině je roven

. Nalezněte počet iontů vodíku

, jestliže $T = 29 \,600 \,\mathrm{K}$ a $\log P_e = 1,8\,\mathrm{Pa}$ . Dále je zadáno $\chi_i = 13,60\,\mathrm{eV}$ , $\chi_2 = 10,15 \,\mathrm{eV}$ ,

Úloha 7.16Jaká by byla teplota Slunce, kdyby neexistovaly spektrální čáry?

Úloha 7.17 Hvězdný obr spektrální třídy K má efektivní teplotu $4\,300\,\mathrm{K}$ . Zjištěná hodnota mikroturbulentní rychlosti je $v_{\mathrm{mt}} = 2\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ . Stanovte šířku čáry Fe I o vlnové délce $\lambda = 553,93\,\mathrm{nm}$ .

Úloha 7.18 Dokažte, že rovnici hydrostatické rovnováhy lze napsat ve tvaru používaném například u modelů hvězdných atmosfér $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\tau}= \frac{g}{\kappa}$ .

Úloha 7.19 Předpokládejme, že provádíme pozorování skrz plazmu o konstantní hustotě a teplotě, příkladně $2,5 . 10^{-4}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ a $5\,780\,\mathrm{K}$ , což odpovídá dolním fotosférickým vrstvám Slunce. Nechť opacita plynu na vlnové délce $\lambda_1$ je $\kappa_{\lambda_1}=0,026\,\mathrm{m}^2.\mathrm{kg}^{-1}$ a na vlnové délce $\lambda_2$ je $\kappa_{\lambda_2}=0,03\,\mathrm{m}^2.\mathrm{kg}^{-1}$ . Určete vzdálenost, ve které je optická hloubka rovna pro každou vlnovou délku.

Úloha 7.20 Dokažte, že ve fotosféře Slunce předpoklad lokální termodynamické rovnováhy (LTE) není naplňován. Nechť teplota ve zvolené vrstvě fotosféry se mění v intervalu $5\,890\,\mathrm{K}- 5\,650\,\mathrm{K}$ v průběhu vzdálenosti $28\,\mathrm{km}$ .

Úloha 7.21 Fotosféru Slunce lze pokládat v prvním přiblížení za šedou. Znamená to, že záření všech vlnových délek ve viditelné části spektra je zeslabováno stejně. Proč tedy okrajové ztemnění slunečního disku narůstá se zmenšováním vlnové délky?

Úloha 7.22 Nalezněte výšku stejnorodé vodíkové fotosféry u
a) Slunce, $T_{\odot}= 6\,000\,\mathrm{K}$
b) bílého trpaslíka, $T = 30 \,000 \,\mathrm{K}$ , $M =M_{\odot}$ , $R = 10^{- 2}\,R_{\odot}$ .

Úloha 7.23 Odhadněte počet částic v $1\,\mathrm{m}^3$ sluneční fotosféry předpokládáme-li teplotu $5\,780\,\mathrm{K}$ a tlak $10^4\,\mathrm{Pa}$ v optické hloubce $\tau = 0,5$ . Porovnejte s koncentrací molekul v atmosféře u povrchu Země.

Úloha 7.24 Předpokládejme, že Slunce bude vyzařovat konstantním zářivým výkonem pouze na úkor energie uložené ve fotosféře o tloušťce $300\,\mathrm{km}$ a hustotě asi $10^{ 23}$ částic $\mathrm{m}^{ -3}$ . Za jaký čas bychom pozorovali změny v slunečním záření, jestliže by energie fotosféry nebyla neustále doplňována z nitra Slunce. Zářivý výkon $1\,\mathrm{m}^2$ povrchu Slunce je $6.10^7\,\mathrm{W}$ .

Úloha 7.25 Dokažte, že ve fotosféře Slunce je předpoklad o přenosu energie zářením oprávněný.

Úloha 7.26 Vypočtěte konvektivní tok ve fotosféře Slunce, předpokládáme $\Delta T\cong 300\,\mathrm{K}$ , $\rho\cong 10^{-4}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ , $v\cong5.10^2\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$ , pro vodík $c_p\cong\frac{5}{2}\frac{R}{m}\cong10^4\,\mathrm{J}.\mathrm{kg}^{-1}.\mathrm{K}^{-1}$ . Dále určete tok záření při $T\cong5800\,\mathrm{K}$ , $\kappa\cong0,026\,\mathrm{m}^2.\mathrm{kg}^{-1}$ , $r\cong3.10^5\mathrm{m}$ . Výsledky porovnejte a diskutujte.

Úloha 7.27 Dominantním detailem ve spojitých spektrech hvězd spektrální třídy A0 v optické části spektra je balmerovský skok při $\lambda = 364,6\,\mathrm{nm}$ . Jak velké je okrajové ztemnění na discích těchto hvězd na vlnových délkách $\lambda_1 = 360,6 \,\mathrm{nm}$ a $\lambda_2 = 368,6 \,\mathrm{nm}$ ?