8. Dvojhvězdy

Úloha 8.1 Určete vzdálenost dvojhvězdy, známe-li její oběžnou dobu $T=27\,$roků, hmotnosti jednotlivých složek $3\,M_{\odot}$, $5\,M_{\odot}$ a velikost hlavní poloosy $a'' = 0,45''$.

Úloha 8.2 Můžeme pomocí Hubbleova dalekohledu rozlišit dvě hvězdy spektrální třídy O, mezi kterými je úhel $10^{-7}\,$rad, na vlnové délce čáry $L_\alpha$ s $\lambda = 121,6\,$nm.

Úloha 8.3 Sirius je vizuální dvojhvězda s oběžnou dobou 49,94 roků a roční paralaxou $\pi = 0,379''$. Zjednodušeně předpokládejme, že dráhová rovina je kolmá k zornému paprsku. Velikost velké poloosy je $a'' = 7,62''$ Poměr vzdáleností složek A a B od středu hmotnosti je $\frac{r_{\mathrm{A}}}{r_{\mathrm{B}}}=0,466$. Nalezněte hmotnosti jednotlivých složek. Určete jejich zářivé výkony, jestliže Sirius A má $M_{\mathrm{bol}}=1,36 \,\mathrm{mag}$ a Sirius B $M_{\mathrm{bol}}= 8,9\,\mathrm{mag}$.

Pozorované dráhy Síria A a B

Úloha 8.4 Uvažovaná modelová fyzická dvojhvězda se skládá ze dvou složek-obrů o přibližně stejné hmotnosti, obíhajících kolem společného hmotného středu s oběžnou dobou $T = 12$ dní. Velikost velké poloosy dvojhvězdy je $a = 2 . 10^7\mathrm{km}$. Určete celkový počet vrypů difrakční mřížky $N$ nezbytných pro pozorování ve viditelném oboru spektra vodíku tak, aby ve spektru II. řádu bylo možné pozorovat vzájemný oběh obou složek. Dále zjednodušeně předpokládáme, že teplota atmosfér obou hvězd je stejná a činí $6\,000\,\mathrm{K}$.

Úloha 8.5 Fyzická dvojhvězda 2MASSWJ0746425+2000321, se skládá z červeného a hnědého trpaslíka. Z pozorování byla zjištěna oběžná doba $T = 10\,$roků, úhlová velikost velké poloosy $a'' = 0,20''$ a roční paralaxa $\pi'' = 0,08''$. Určete součet hmotností obou složek!

Úloha 8.6 Ze studia čárového spektra spektroskopické zákrytové dvojhvězdy byla zjištěna oběžná doba 8,6 roků. Maximální hodnota Dopplerova posuvu čáry $\mathrm{H}_{\alpha}$ o vlnové délce $\lambda = 656,273\,\mathrm{nm}$ pro první složku je $\Delta_1 = 0,026\,\mathrm{nm}$, pro druhou složku $\Delta_2 = 0,052\,\mathrm{nm}$. Ze sinusového charakteru křivky radiálních rychlostí vyplývá, že dráhy jsou blízké kruhovým. Předpokládáme sklon dráhy $90^\circ$.Určete hmotnosti jednotlivých složek dvojhvězdy.

Úloha 8.7 Ve spektru zákrytové dvojhvězdy, jejíž jasnost se mění s periodou 3,953 dne, se spektrální čáry posouvají na opačné strany o hodnoty $\left(\Delta\lambda /\lambda\right)_1 = 1,9 . 10^{ - 4}$ a $\left(\Delta\lambda /\lambda\right)_2= 2,9 . 10^{ - 4}$ od normální vlnové délky. Určete hmotnosti jednotlivých složek dvojhvězdy.

Spektroskopická dvojvězda

Úloha 8.8 U zákrytové proměnné dvojhvězdy s oběžnou dobou $T = 50$ dní byl pozorován zákryt $t_4 - t_1$ trvající 8 hodin. Minimum $t_3 - t_2$ pozorované v dráhové rovině trvalo 1 hodinu 18 minut. Radiální rychlost první složky je $v_1 = 30\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ a druhé složky $v_2 = 40\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Pro rovinu oběžné dráhy $i = 90^{\circ}$. Určete poloměry obou hvězd a hmotnosti složek.

Úloha 8.9 Spektroskopická dvojhvězda má oběžnou dobu $T=1,67$ dne. U první složky byla zjištěna poloviční amplituda rychlosti $K_{\mathrm{A}} = 131,0 \,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ a u druhé složky $K_{\mathrm{B}} = 201,8\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Excentricita dráhy je rovna nule, sklon dráhy nelze určit. Proto při výpočtu statisticky volíme $\sin^3i=\frac{2}{3}$. Odhadněte hmotnosti jednotlivých složek.

Úloha 8.10 Přítomnost extrasolárních planet s hmotností řádově srovnatelnou s hmotností Jupitera zjišťujeme na základě změn radiálních rychlostí hvězd. Vypočtěte periodu a amplitudy změn radiální rychlosti vyvolaných hypotetickou planetou o stejné hmotnosti jako Jupiter. Předpokládáme hvězdu o hmotnosti $1\,M_{\odot}$. Posuďte měřitelnost těchto změn současnými astronomickými prostředky.

Úloha 8.11 Těsná dvojhvězda se skládá ze dvou složek, bílého trpaslíka s hmotností $1\,M_{\odot}$ a podobra o hmotnosti $0,5\,M_{\odot}$, který vyplňuje svůj rocheovský prostor. Předpokládáme kruhové dráhy obou složek, jejichž vzdálenost je $a = 10^9\mathrm{m}$. Nalezněte oběžnou dobu, rychlosti obou složek a polohu $l_1$ prvního Lagrangeova bodu. Kvalitativně odhadněte změny velké poloosy a oběžné doby dvojhvězdy, jestliže předpokládáme přenos hmoty od podobra k bílému trpaslíku.

Úloha 8.12 Při přenosu hmoty mezi složkami dvojhvězdy předpokládáme platnost zákonů zachování hmotnosti a dráhového momentu hybnosti, tedy $M_1+M_2=M_c$, $\frac{{\mathrm d}M_c}{{\mathrm d}t}=0$; $L=\frac{M_1M_2}{M_1+M_2}\left[Ga\left(M_1+M_2\right)\right]^{1/2}$, $\frac{{\mathrm d}L}{{\mathrm d}t}=0$. Nechť $M_1$ je hmotnost složky přijímající hmotu, zavedeme $$\mu=\frac{M_1}{M_c}$$. Dokažte, že pro relativní změnu poloosy $a$ lze odvodit $$\frac{{\mathrm d}a}{a}=2\frac{2\mu-1}{\mu\left(1-\mu\right)}\frac{{\mathrm d}M_1}{M_c}$$.

Úloha 8.13 Dokažte, že pro relativní změnu oběžné doby dvojhvězdy s přenosem hmoty platí $\frac{{\mathrm d}T}{T}=3\frac{2\mu-1}{\mu\left(1-\mu\right)}\frac{{\mathrm d}M_1}{M_c}$. Předpokládáme platnost stejných zákonů zachování jako v předcházející úloze.

Úloha 8.14 Dokažte, že u těsných dvojhvězd je časová změna oběžné doby způsobená přenosem hmoty dána vztahem $\frac{1}{T}\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}t}=3\frac{{\mathrm d}M_1}{{\mathrm d}t}\frac{M_1-M_2}{M_1M_2}$.

Úloha 8.15 U dvojhvězdné soustavy U Cephei s oběžnou dobu $T = 2,49\,\mathrm{ dne}$ byl zjištěn její nárůst $\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}t}=2,3.10^{-9}$. Za předpokladu, že tato změna je vyvolána přenosem hmoty, určete rychlost tohoto přenosu. Hmotnosti složek jsou $M_1 = 4,2\,M_{\odot}$ a $M_2 = 2,8\,M_{\odot}$. Která z hvězd přijímá hmotu?

Úloha 8.16 U dvojhvězdné soustavy s hmotnostmi jednotlivých složek $M_1 = 4,9 \,M_{\odot}$ a $M_2 = 4,1\,M_{\odot}$ byla zjištěna rychlost přenosu hmoty $\frac{{\mathrm d}M_1}{{\mathrm d}t}=10^{-5}\,M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$. Je-li oběžná doba $T = 1,94\,$dne, určete její nárůst.

Úloha 8.17 Jakou část hmoty může ztratit jedna složka dvojhvězdného systému, aby fyzikální dvojhvězdný systém vázaný gravitací ještě zůstal zachován? Vyjděte ze zjednodušujícího předpokladu, že dráhy složek jsou kruhové, ztráta hmoty probíhá sféricko-symetricky a prakticky okamžitě, t.j. za čas mnohem menší, než je velikost oběžné doby dvojhvězdy. V případě, že se soustava nerozpadne po ztrátě hmoty, zůstane dráha kruhovou? Získá střed hmotnosti dvojhvězdy doplňkovou rychlost?

Úloha 8.18 Zkoumejme fyzický dvojhvězdný systém HZ Her + Her X 1 s celkovou hmotností soustavy přibližně $4\,M_{\odot}$. Hmotnost první složky HZ Her je odhadována na $2,5\,M_{\odot}$. Předpokládáme, že při dalším vývoji se z této hvězdy po explozi obálky o hmotnosti asi $1\,M_{\odot}$ stane neutronová hvězda s hmotností $1,5\,M_{\odot}$. Druhou složkou soustavy je neutronová hvězda Her X 1 o hmotnosti $1,5\,M_{\odot}$. Zůstane dvojhvězdný systém zachován?

Úloha 8.19 Hvězda o hmotnosti $20\,M_{\odot}$ exploduje jako supernova Ic typu, jejím pozůstatkem je neutronová hvězda o hmotnosti $1,4\,M_{\odot}$. Zůstane dvojhvězdný systém zachován, jestliže hmotnost druhé hvězdy je $6\,M_{\odot}$?

Úloha 8.20 Nechť hmotnosti složek dvojhvězdy jsou $M_1$ a $M_2$. Vyjádřete zákon zachování energie pro zkušební částici pohybující se v gravitačním poli dvojhvězdy v dráhové rovině hvězd. Souřadnou soustavu zvolíme s počátkem v hmotném středu dvojhvězdy kolem kterého rotuje úhlovou rychlostí $\omega$, jde o tzv. korotující soustavu.

Úloha 8.21 Dotyková dvojhvězda se skládá z červeného obra a neutronové hvězdy s hmotností $1\,M_{\odot}$ a poloměrem 10 km. Určete množství hmoty za rok přetékající od červeného obra na neutronovou hvězdu, které při tomto přenosu způsobuje vyzařování v rtg. oboru $10^{31}\mathrm{ W}$. Předpokládejte, že změna gravitační potenciální energie částic plynu je přibližně rovna zářivému výkonu, především v rtg. oboru záření. Dále předpokládáme, že vzdálenost obou hvězd je mnohem větší než poloměr neutronové hvězdy.

Úloha 8.22Neutronovou hvězdu - pulsar s hmotností $2\,M_{\odot}$ a poloměrem $20\,\mathrm{km}$ a periodě $0,15\,\mathrm{s}$ obklopuje akreční disk vznikající přetokem hmoty z druhé hvězdy s tempem akrece přibližně $10^{ - 8}M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$. Odhadněte ${\mathrm d}P/{\mathrm d}t$ pro tento pulsar.

Úloha 8.23 Rtg. pulsar s periodou $P = 100\,\mathrm{s}$ je jednou ze složek fyzické dvojhvězdy. Dopplerův posuv vyvolaný vyvolaný dráhovým pohybem pulsaru vede k periodické změně času příchodu pulsů, což dovoluje proměřit křivku radiálních rychlostí pulsaru. Jak se změní pozorovaná perioda pulsaru, jestliže druhou složkou je hvězda o hmotnosti $20\,M_{\odot}$, oběžná doba soustavy je 20 dnů. Hmotnost pulsaru přijměte $1,5\,M_{\odot}$, excentricita dráhy je nulová, sklon dráhy dosahuje  $90^{\circ}$.

Úloha 8.24 Dvojhvězda s oběžnou dobou 10 dnů má složky o hmotnostech $10\,M_{\odot}$ a $2\,M_{\odot}$. Složka s menší hmotností je rtg. pulsarem s periodou $0,1\,\mathrm{s}$. Nalezněte, v jakém intervalu se mění pozorovaná perioda pulsací. Předpokládáme kruhovou dráhu se sklonem $90^{\circ}$, pozorovací paprsek leží v dráhové rovině.

Úloha 8.25 Binární pulsar PSR 1913 + 16 v souhvězdí Orla, objevený na rádiovém teleskopu v Arecibu roku 1974 R. Hulsem a J.Taylorem, představuje systém dvou neutronových hvězd o hmotnostech $1,44\,M_{\odot}$ a $1,39\,M_{\odot}$. Velká poloosa soustavy $a = 8,6.10^8\,\mathrm{m}$, excentricita dráhy je $\epsilon = 0,617$ a oběžná doba je $T = 27\, 907\,$. Podle výkladu objevitelů - nositelů Nobelovy ceny za fyziku z roku 1993, v souladu s OTR tento systém ztrácí svoji energii vyzařováním gravitačních vln, úbytek gravitační energie je vyjádřen vzorcem $\frac{{\mathrm d}E}{{\mathrm d}t}=-\frac{35 G}{5c^2}\frac{M_1^2M_2^2}{\left(M_1+M_2\right)^2}a^4\omega^6f\left(\epsilon\right)$, kde $f\left(\epsilon\right)=\left(1+\frac{72}{24}\epsilon^2+\frac{37}{96}\epsilon^4\right)\left(1-\epsilon^2\right)^{-7/2}$. Stanovte gravitační zářivý výkon tohoto podvojného pulsaru a určete rovněž změnu oběžné doby pulsaru podle vzorce $\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}t}=-\frac{96}{5}\frac{G^3}{c^5}M_1M_2\left(M_1+... ...pi^2}{G\left(M_1+M_2\right)}\right]^{4/3}\frac{f\left(\epsilon\right)}{T^{5/3}}$.

Schéma binárního pulsaru