Sluneční soustava - řešení

Řešení úlohy 2.1
Tlaková škálová výška atmosféry Slunce je dána vztahem $H=\frac{kT}{gm}$ , kde je molekulová hmotnost, v našem případě uvažujme vodíku. Povrchové gravitační zrychlení $g=G\frac{M_{\odot}}{R_{\odot}^2}= 2,7.10^2\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-2}$ . Pro fotosféru po dosazení obdržíme $H = 1,8 .10^5\,\mathrm{m}$ . Vzhledem k tomu, že $H < 10^{-3}\,R_{\odot}$ pozorujeme okraj slunečního disku ostrý. U koróny $H = 6 . 10^7\,\mathrm{m}$ , tedy $H\cong0,1\,R_{\odot}$ , proto je okraj koróny neostrý a rozmazaný.

Řešení úlohy 2.2
Průměrnou rychlost protonů stanovíme ze vztahu $v=\frac{r_\mathrm{ZS}}{t_\mathrm{d}}=\frac{1,5.10^{11}}{8,64.10^4}=1,7.10^{6}\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$ . Rychlosti odpovídá kinetická energie protonů $E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}m_\mathrm{p}v^2\cong 2.10^{-15}\,\mathrm{J}\cong 10\,\mathrm{keV}$ .

Řešení úlohy 2.3
Dosadíme do vztahu $\Theta=D/r_\mathrm{ZS}$ , v případě skvrny o velikosti Země $D = 12\,756\,\mathrm{km}$ , $\Theta=18''$ , skvrnu nelze pozorovat. Skvrnu o velikosti Jupitera $D = 143\,000\,\mathrm{km}$ , $\Theta=197''=3'17''$ naopak můžeme vidět.

Řešení úlohy 2.4
Sférickou vrstvou o poloměru za čas $\mathrm{d}t$ projde $\mathrm{d}M=\rho\mathrm{d}V =\left(nm_\mathrm{H}\right)\left(4\pi r^2v\mathrm{d}t\right)$ . Zmenšení hmotnosti lze vyjádřit vztahem $\mathrm{d}M/\mathrm{d}t=4\pi r^2nm_\mathrm{H}=4\pi r^2\rho v$ . Numerickým dosazením obdržíme úbytek hmotnosti Slunce $3 . 10^{-14}\,M_{\odot}\,\mathrm{rok}^{-1}$ .

Řešení úlohy 2.5
Radioaktivní rozpad popisujeme vztahem $N/N_0=\exp\left(-\frac{\ln 2t}{\tau}\right)$ , kde $N_0=N+N_\mathrm{rozpad}=N+0,623N=1,1623N$ . Po dosazení a úpravě obdržíme $t=-\tau\ln\frac{N}{N_0}/\ln 2 = 3,65 . 10^9\,\mathrm{roků}$ .

Řešení úlohy 2.6
Opět použijeme vztah $N/N_0=\exp\left(-\frac{\ln 2t}{\tau}\right)$ , kde $N_0=N+N_\mathrm{rozpad}=N+0,065N=1,065N$ . Po dosazení $t=-\tau\ln\frac{N}{N_0}/\ln 2 = 4,3 . 10^9\,$ roků.

Řešení úlohy 2.7
Tlaková škálová výška je pro kyslík $m = 32.1,67.10^{-27}\,\mathrm{kg}$ rovna $H=kT/(gm)= 7,4\,\mathrm{km}$ . V případě dusíku $m = 28.1,67.10^{-27}\,\mathrm{kg}$ obdržíme $H=kT/(gm)= 8,4\,\mathrm{km}$ .

Řešení úlohy 2.8
Škálová tlaková výška je pro kyslík při molekulové hmotnosti $m = 32.1,67.10^{-27}\,\mathrm{kg}$ rovna $H=kT/(gm)= 7,4\,\mathrm{km}$ . U ideálního plynu $n \sim p$ . Platí $p(h)/p(h_0)=\exp(-h/H) = 0,3$ . Koncentrace kyslíku je na vrcholu Mount Everestu rovna přibližně hodnoty u mořské hladiny.

Řešení úlohy 2.9
U vodních par je tlaková škálová výška při $m = 18.1,67.10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $H=kT/(gm)= 12,9\,\mathrm{km}$ . Pro ideální plyn $n \sim p$ . Vypočteme $p(h)/p(h_0)=\exp(-h/H) = 0,73$ .

Řešení úlohy 2.10
Pro škálovou výšku platí , kde u Země předpokládáme složení atmosféry $\mathrm{N}_2$ , tedy $m = 28.1,67.10^{-27}\,\mathrm{kg}$ . V případě Marsu u složení atmosféry převládá $\mathrm{CO}_2$ , tudíž $m = 44.1,67.10^{-27}\,\mathrm{kg}$ . Připomínáme, že $g\sim M/R^2$ . Po dosazení obdržíme $H_\mathrm{M}= 9,6\,\mathrm{km}$ .

Řešení úlohy 2.11
Pro zářivý výkon povrchu Země platí $4\pi R_\mathrm{Z}^2\sigma T_\mathrm{efZ}^4$ , Země absorbuje od Slunce zářivý výkon $(1-A)4\pi R_{\odot}^2\sigma T_{\mathrm{ef}\odot}^4 \pi R_\mathrm{Z}^2/(4\pi a_\mathrm{SZ}^2)$ . Předpokládáme, že tok záření je u Země absorbován plochou $\pi R_\mathrm{Z}^2$ , ale vyzařován plochou $4\pi R_\mathrm{Z}^2$ vzhledem k relativně rychlé rotaci Země. Po úpravě obdržíme $T_\mathrm{efZ}=T_{\mathrm{ef}\odot}\left(\frac{R_{\odot}}{2a_\mathrm{SZ}}\right)^{1/2} (1-A)^{1/4} = 255\,\mathrm{K}$ . Atmosférická teplota je vzhledem ke skleníkovému efektu vyšší, dosahuje zhruba $290\,\mathrm{K}$ .

Řešení úlohy 2.12
U Marsu použijeme stejnou úvahu jako u Země, $T_\mathrm{efM}=T_{\mathrm{ef}\odot}\left(\frac{R_{\odot}}{2a_\mathrm{M}}\right)^{1/2} (1-A)^{1/4} = 210\,\mathrm{K}$ .

Řešení úlohy 2.13
Solární konstanta Jupitera je $S_\mathrm{J}=S_\mathrm{Z}/5,2^2= 51\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$ . Celkový přijímaný zářivý výkon je $L_{\odot\rightarrow\mathrm{J}}=S_\mathrm{J}\pi R_\mathrm{J}^2 (1 - A) = 2,4 . 10^{ 17}\,\mathrm{W}$ .

Řešení úlohy 2.14
Nejprve určíme velikost velké poloosy, následně perihéliovou a aféliovou vzdálenost. Z $T^2=a^3\Rightarrow a= 1,08\,\mathrm{AU}$ , $r_\mathrm{p}= a(1-e)=0,19\,\mathrm{AU}$ , $r_\mathrm{a}=a(1+e)= 1,97\,\mathrm{AU}$ . Efektivní teplotu stanovíme obdobně jako u úloh 12, 13, $T_\mathrm{ef, p}=624\,\mathrm{K}$ , $T_\mathrm{ef, a}=194\,\mathrm{K}$ .

Řešení úlohy 2.15
Nejprve určíme hodnotu solární konstanty Neptuna $S_\mathrm{Ne}=S_\mathrm{Z}/30^2 = 1,5\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$ . Planetou získávaný zářivý výkon od Slunce je $L_{\odot\rightarrow\mathrm{Ne}}=S_\mathrm{Ne}\pi R_\mathrm{Ne}^2(1-A)= 2 . 10^{15}\,\mathrm{W}$ . Efektivní teplota rovnovážného záření planety je $T_\mathrm{ef, Ne}=\left(\frac{L_{\odot\rightarrow\mathrm{Ne}}}{4\pi\sigma R_\mathrm{Ne}^2}\right)^{1/4}= 46\,\mathrm{K}$ . Spektroskopicky zjištěná teplota je vyšší, Neptun má vnitřní zdroje energie.

Řešení úlohy 2.16
Gravitační potenciální energie homogenní koule je $E_\mathrm{p}=-\frac{3}{5}GM^2/R$ , úbytek energie je $\mathrm{d}L/\mathrm{d}t=\mathrm{d} E_\mathrm{p}/\mathrm{d}t=-\frac{3}{5}GM^2/R^2\, \mathrm{d}R/\mathrm{d}t$ . Po dosazení obdržíme $\mathrm{d}R/\mathrm{d}t=-10^{-4}\,\mathrm{m}.\mathrm{rok}^{-1}$ . Při současném poloměru $7,1 . 10^7\,\mathrm{m}$ může planeta vyzařovat energii ještě miliardy roků.

Řešení úlohy 2.17
Původní poloměr stanovíme ze vztahu $R=\left(\frac{L}{4\pi\sigma T_\mathrm{ef}^4}\right)^{1/2}= 3,3 . 10^9\,\mathrm{m}$ .

Řešení úlohy 2.18
Při zadané vzdálenosti Marsu je šířka údolí Valley Marineris pozorována pod úhlem $\alpha = 1,5 . 10^{ -4}{\,}^\circ$ , tedy přibližně , což je na hranici rozlišitelnosti největšími pozemskými dalekohledy za ideálních podmínek. Naopak z Marsu by za stejných podmínek bylo možné pozorovat například ústí Amazonky do Atlantického oceánu, jehož šířka přesahuje $250\,\mathrm{km}$ .

Řešení úlohy 2.19
Celková hmotnost Merkuru se skládá z hmotností jádra a obalu $M_\mathrm{c}=M_\mathrm{j}+M_\mathrm{o}$ , tedy $\frac{4}{3}\pi\rho_\mathrm{c} R_\mathrm{c}^3=\frac{4}{3}\pi\rho_\mathrm{j}R_\mathrm{j}^3 +\frac{4}{3}\pi\rho_\mathrm{o} (R_\mathrm{c}^3-R_\mathrm{j}^3)$ . Po úpravě obdržíme $R_\mathrm{j}/R_\mathrm{c}=\left(\frac{\rho_\mathrm{c}-\rho_\mathrm{o}}{\rho_\mathrm{j} -\rho_\mathrm{o}}\right)^{1/3}= 0,64$ .

Řešení úlohy 2.20
K dlouhodobému udržení atmosfér kosmických těles musí být splněna zhruba podmínka $v_\mathrm{p}\geq10v_\mathrm{sk}$ (kde $v_\mathrm{p}$ je parabolická rychlost, $v_\mathrm{sk}$ je střední kvadratická rychlost molekul plynu), tedy $\left(\frac{2GM}{R}\right)^{1/2}\geq 10\left(\frac{3kT}{m}\right)^{1/2}$ . Mariner 10 v roce 1974 bezúspěšně hledal u Merkuru případnou tenkou vrstvu atmosféry z hélia. Pro tento prvek platí $v_\mathrm{p}/v_\mathrm{sk}=4,2/2,1=2$ , atmosféra by tak mohla existovat pouze několik dnů. Titan má atmosféru složenou převážně z molekulárního dusíku. Po dosazení obdržíme $v_\mathrm{p}/v_\mathrm{sk}=2,7/0,3=9$ , tedy podmínka pro dlouhodobou existenci atmosféry je téměř splněna.

Řešení úlohy 2.21
Gravitační síla Slunce působící na částici prachu kulového tvaru má velikost $F_\mathrm{g}=GM_{\odot}m_\mathrm{č}/R^2 =GM_{\odot}\frac{4}{3}\pi r^3\rho_\mathrm{č}/R^2$ . Pro gravitační sílu platí $F_\mathrm{g}=Ar^3$ , kde $A=GM_{\odot}\frac{4}{3}\pi\rho_\mathrm{č}/R^2$ . Síla tření způsobená slunečním větrem má podle Stokesova vztahu velikost $F_\mathrm{t}=Br^2$ , kde je konstanta závislá na vlastnostech meziplanetárního prostředí. Odtud dostáváme poměr $F_\mathrm{t}/F_\mathrm{g}=B/(Ar)$ . Tedy pro dostatečně malé hodnoty poloměru částice prachu je síla tření větší než gravitační síla Slunce. Sluneční vítr tak odfoukává malé prachové částice z blízkosti jádra komety a ty vytvářejí prachový kometární ohon.

Řešení úlohy 2.22
$M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho= 4,2 . 10^{ 15}\,\mathrm{kg}$ . Úniková rychlost z jádra $v_\mathrm{p}=(2GM/R)^{1/2}= 7,5\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$ , zatímco střední kvadratická rychlost $v_\mathrm{sk}=(3kT/m)^{1/2}= 436\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$ . Působením slunečního záření již molekuly CN opustily povrch jádra komety.

Řešení úlohy 2.23
Určíme hmotnost jádra komety $M=\rho V= 1,4 . 10^{ 13}\,\mathrm{kg}$ , kinetická energie uvolněná při dopadu je $\frac{1}{2}Mv^2= 7 . 10^{ 20}\,\mathrm{J}$ , tedy mnohem větší než při erupcích sopek. Množství vypařené vody stanovíme ze vztahu $m=E_\mathrm{k}/l_\mathrm{v}$ , kde $l_\mathrm{v}=2,26.10^6\,\mathrm{kJ}.\mathrm{kg}^{-1}$ . Po dosazení za zjednodušujících předpokladů $\rho_\mathrm{v}=10^3\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ dostaneme $V = 300\,\mathrm{km}^{3}$ .

Řešení úlohy 2.24
Ze vztahu $D\cong D_0(E_\mathrm{k}/E_\mathrm{k,0})^{0,294}$ nejprve stanovíme $E_\mathrm{k}=5.10^{20}\,\mathrm{J}$ . Odtud určíme při předpokladu $v=25\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ hmotnost meteoritu $m=1,6.10^{12}\,\mathrm{kg}$ . Poloměr stanovíme ze vztahu $R=\left(\frac{M}{\frac{4}{3}\pi\rho}\right)^{1/3}= 500\,\mathrm{m}$ .

Řešení úlohy 2.25
Z III. Keplerova zákona $a_\mathrm{Ch}^3/T_\mathrm{Ch}^2=G(M_\mathrm{Pl}+M_\mathrm{Ch})/(4\pi^2)$ stanovíme hmotnost soustavy Pluto - Charon $M_\mathrm{Pl}+M_\mathrm{Ch} = 1,4 . 10^{ 22}\,\mathrm{kg}$ . Vzhledem k objemům těles dostaneme $M_\mathrm{Pl}= 1,2 . 10^{22}\,\mathrm{kg}$ , $M_\mathrm{Ch} = 1,7 . 10^{ 21}\,\mathrm{kg}$ . Ve skutečnosti je poměr hustot přibližně $\rho_\mathrm{Pl}:\rho_\mathrm{Ch}=2:1$ .

Řešení úlohy 2.26
Platí vztah $M_\mathrm{Pl}a_\mathrm{Pl}+M_\mathrm{Ch}a_\mathrm{Ch}=(M_\mathrm{Pl}+M_\mathrm{Ch}) a_\mathrm{spol}$ .Zvolme souřadnou soustavu, kde $a_\mathrm{Pl}= 0$ , $a_\mathrm{Ch}$ je vzdálenost mezi oběma objekty, $a_\mathrm{spol}$ je vzdálenost středu hmotnosti a Pluta. Řešením dostaneme $a_\mathrm{spol}=M_\mathrm{Ch}a_\mathrm{Ch}/(M_\mathrm{Pl}+M_\mathrm{Ch})= 2\,100\,\mathrm{km}$ . Tedy hmotný střed leží asi $1\,000\,\mathrm{km}$ nad povrchem Pluta.

Řešení úlohy 2.27
Tlaková škálová výška atmosféry je dána vztahem , přičemž pro teplotu rovnovážného záření Pluta platí $T\approx r^{-1/2}$ , kde je vzdálenost od Slunce. Aféliová a periheliová vzdálenost jsou dány vztahy $r_\mathrm{a}=a(1+e)$ a $r_\mathrm{p}=a(1-e)$ . Dosazením obdržíme $\frac{T_\mathrm{p}}{T_\mathrm{a}}=\left(\frac{1+e}{1-e}\right)^{1/2}=1,3$ . V tomto poměru se mění škálová výška atmosféry.

Řešení úlohy 2.28
Určíme poměr gravitačních sil Jupitera a Země $\frac{F_\mathrm{J}}{F_\mathrm{Z}}= \frac{G\frac{m_\mathrm{d}M_\mathrm{J}}{r_\mathrm{ZJ}^2}} {G\frac{m_\mathrm{d}M_\mathrm{Z}}{R_\mathrm{Z}^2}}=3,3.10^{-8}$ . Gravitační vliv Jupitera je zcela zanedbatelný.