Pozdní stadia vývoje hvězd, novy, supernovy - řešení

Řešení úlohy 10.1
Energie, uvolňovaná za časovou jednotku v jednotkové hmotnosti hvězdné látky $[\mathrm{W}.\mathrm{kg}^{-1} ]$ při CNO cyklu, který je dominantní při zadané teplotě je dána vztahem

$\displaystyle \epsilon_{\mathrm{CNO}}=3,4.10^{29}\rho X\,X_{\mathrm{CNO}}\left(... ...10^6}{T}\right)^{2/3} \exp\left[-152,3\left(\frac{10^6}{T}\right)^{1/3}\right].$

Ve slupkovém zdroji o objemu $10^{22} \mathrm{m}^3$ je uvolňovaná energie za sekundu v jednotkovém objemu $4 . 10^7 \mathrm{J} .\mathrm{m}^{- 3}.\mathrm{s}^{- 1}$ , zářivý výkon červeného obra je $4.10^{29}\mathrm{ W} \cong 10^3\,L_{\odot}$ . Při zadaném poloměru $7 . 10^{ 10}\mathrm{m}$ je efektivní povrchová teplota obra $3 \,300 \,\mathrm{K}$ .

Řešení úlohy 10.2
Gravitační potenciální energie je rovna pJob $/R=- 3,0. 10^{39}\,$ J. Za předpokladu $\gamma=5/3$ má viriálová věta tvar $2\langle E_$ k $\rangle +\langle E_$ p $\rangle = 0$ . Celková energie hvězdy - červeného obra je $\langle E_$ c $\rangle =\langle E_$ k $\rangle +\langle E_$ p $\rangle = -1,5 . 10^{39}\,$ J.

Řešení úlohy 10.3
Gravitační potenciální energie je p $\cong-GM_$ job $/R \cong-2,3.10^{39}\,$ J. Při platnosti viriálové věty $\langle E_$ p $\rangle +2\langle E_$ k $\rangle = 0$ obdržíme ${E_\text{k}}\cong1,15.10^{39}\,\text{J}$ . Celková rekombinační energie obálky je rek $= \frac{M_\text{ob}}{m_\text{H}}2,18.10^{-18}=5,2.10^{38}\,\text{J}$ .

Řešení úlohy 10.4
Počet atomů uhlíku je C $= 10^{ 56}$ . Celková uvolněná energie je $W=\left(Nm_\text{C}-Nm_\text{Mg}/2\right)c^2= 10^{ 45}\,\text{J}$ . Přepokládáme-li, že veškerá uvolněná energie se vyzáří a že hvězda bude vyzařovat stále stejným zářivým výkonem, potom její doba života v tomto stadiu je $t=E/L= 3 . 10^{ 11}\,$ s $= 10^4\,$ roků.

Řešení úlohy 10.5
Platí $E_{p}\sim\frac{M^2}{R}$ , $L\sim\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\left(\frac{M^2}{R}\right)\Rightarrow \frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}\sim \frac{LR}{M}$ . Ze Stefanova-Boltzmannova zákona určíme poloměr $310\,R_{\odot}$ , dále stanovíme $g = 10^{ -5} g_{\odot}$ a dosazením obdržíme $\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}\cong10^{-6}M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$ .

Řešení úlohy 10.6
Pro hvězdný vítr platí $\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}=-4.10^{-13}\frac{LR}{M}\cong6.10^{-6}M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$ . Zářivý výkon větru při zadané rychlosti je roven $L_\nu\cong10^{26}\mathrm{W}$ , zatímco samotné hvězdy $L_\mathrm{B}\cong 10^{32}\mathrm{W}$ .

Řešení úlohy 10.7
Při eplozivním spalování vodíku je koeficient účinnosti uvolňování energie přibližně 1%, množství určíme ze vztahu $\Delta m=\frac{\Delta E}{c^2}\cong\frac{10^{41}}{10^{17}}\cong10^{24}\mathrm{kg}$ .

Řešení úlohy 10.8
Při reakcích přeměny vodíku na helium, kdy ze čtyř protonů vzniká jádro helia, je množství energie uvolňované při vzniku jednoho jádra helia $4,3.10^{-12}\mathrm{J}$ . Ve vrstvě vodíku o hmotnosti $2.10^{24}\mathrm{kg}$ je zhruba $\frac{2.10^{24}}{1,67.10^{-27}}\cong10^{51}$ protonů. Celková uvolněná energie je $\frac{1}{4}\,4,3.10^{-12}.10^{51}\mathrm{J}\cong10^{39}\mathrm{J}$ . Pro Eddingtonovu limitu zářivého výkonu platí $L_{\mathrm{Ed}}\cong\frac{4\pi GcM }{\kappa}\cong10^{31}\mathrm{W}$ . Nova stejným výkonem může zářit $\frac{10^{39}}{10^{31}}\cong10^8\,\mathrm{s}\cong3\,\mathrm{roky}$ .

Řešení úlohy 10.9
vod $=E/\epsilon=1,6.10^{24}\,$ kg, což přibližně odpovídá hmotnosti Venuše.

Řešení úlohy 10.10
Nechť $\Delta M \ll M$ . Energie uvolňovaná z této vrstvy je rovna gravitační vazebné energii $G\frac{M\Delta M}{R(M)}$ . Jestliže je energie uvolňovaná v jednotkové hmotnosti při vodíkovém hoření, $Q\approx 6 . 10^{14}\,\mathrm{ J}. \mathrm{ kg}^{ - 1}$ , $X_\odot\approx 0,7$ . Velikost hořící vodíkové látky je $f \Delta M X_\odot$ , platí $G\frac{M\Delta M}{R(M)} = f \Delta M X_\odot Q$ . Vztah pro bílé trpaslíky, použitý pro nerelativistickou stavovou rovnici, při $M < M_\mathrm{Ch}$ , může být kalibrován $\frac{R}{0,01R_{\odot}}=\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{-1/3}$ . Kombinací uvedených vztahů dostaneme $f=\frac{GM_{\odot}}{0,01R_{\odot}X_\odot Q}\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{4/3}\approx 0,045\left( \frac{M}{M_{\odot}}\right)^{4/3}$ . Pro typické bílé trpaslíky je zlomek velmi malý, proti působí výrazné gravitační síly.

Řešení úlohy 10.11
Gravitační potenciální energie $E_p=-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}=-1,1.10^{43}\mathrm{J}$ v absolutní hodnotě výrazně převyšuje kinetickou energii $E_k=\frac{1}{2}M_{\mathrm{ex}}v^2=10^{37}\mathrm{J}$ expandujících vnějších vrstev. Bílý trpaslík zůstává zachován, exploze se může vícekrát opakovat jako u rekurentních nov.

Řešení úlohy 10.12
Dosazením do vztahu $m = 5 \log r - 5 + M = 18,5\,$ mag zjistíme, že dalekohledem lze supernovu sledovat.

Řešení úlohy 10.13
Nejprve stanovíme modul vzdálenosti $m - M = 28,0\,$ mag. Ze vztahu $m - M = 5\log r - 5$ při zjednodušujícím předpokladu zanedbání mezigalaktické absorpce určíme vzdálenost $r = 4,0\,$ Mpc.

Řešení úlohy 10.14
Ze zákona zachování hybnosti plyne $v=\frac{1}{2}v_0$ jestliže $\frac{4}{3}\pi r^3\rho=M_0$ . Dosadíme dále a obdržíme $t=\frac{5}{4v_0}\left(\frac{3M_0}{4\pi\rho}\right)^{1/3}\cong100\,$ roků, což nastane ve vzdálenosti $r\cong0,08\,\pc$ .

Řešení úlohy 10.15
Gravitační potenciální energie je dána hmotností a poloměrem p $=-\frac{3}{5}G\frac{M^2}{R}\cong-3,5.10^{46}\,$ J.

Řešení úlohy 10.16
$E_{\mathrm{sup}}=E_{\mathrm{nh}}-E_{\mathrm{poc}}=\frac{3GM^2}{5R_{\mathrm{nh}}} -\frac{3GM^2}{5R_{\mathrm{poc}}}\cong\frac{3GM^2}{5R_{\mathrm{nh}}}$ . Po dosazení $M=2,8.10^{30}\mathrm{kg}$ , $R=10^4\mathrm{m}$ obdržíme $E_{\mathrm{sup}}=3.10^{46}\mathrm{J}$ . Uvolněná energie se přeměňuje na záření, na formování neutronové hvězdy, na kinetickou energii neutrin a expandující obálky. Převážnou část energie odnáší neutrina.

Řešení úlohy 10.17
V $1\,$ kg niklu v čase je $N_0=\frac{1}{58,71}6,03.10^{26}$ atomů. Za 1 sekundu se rozpadne atomů $N_1=N_0\lambda=N_0\frac{\ln2}{\tau_{1/2}}=1,4.10^{19}$ . Při rozpadu 1 atomu se uvolní energie $2,9.10^{-13}\mathrm{J}$ . Celkový počet nezbytných rozpadů atomů za 1 sekundu je $\frac{3.10^{36}}{2,9.10^{-13}}\cong10^{49}$ , tudíž odpovídající hmotnost je $\frac{10^{49}}{1,4.10^{19}}\cong7,5.10^{29}\mathrm{kg}\cong0,4\,M_{\odot}$ .

Řešení úlohy 10.18
Za zjednodušujícího předpokladu, že každý proton vyprodukoval neutrino je počet obou částic stejný. Při hmotnosti $1,4.10^{30}\,$ kg je počet protonů $N\approx8,44.10^{56}$ , což odpovídá stejnému počtu neutrin. Celková energie všech neutrin je $7.10^{44}\,$ J.

Řešení úlohy 10.19
Sféra o poloměru $3\,$ kpc má plochu $4\pi r^2= 1,1.10^{41}\,$ m, při celkovém počtu neutrin $8,4.10^{56}$ obdržíme $8.10^{15}$ neutrin na $1\,$ m. Ze znalosti průřezu Země $\pi R_$ Z nalezneme, že Zemí prochází $10^{30}$ neutrin. Exploze supernovy typu II vede k uvolnění energie $3,5.10^{46}\,$ J, neutrina odnáší energii $7.10^{44}\,$ J. Pro energii zbytků supernovy platí $\frac{1}{2} mv^2\approx5.10^{44}\,$ J.

Řešení úlohy 10.20
Při bol $= - 17\,$ mag obdržíme pro zářivý výkon vyjádřený v jednotkách zářivého výkonu Slunce $\log L = 0,4 (4,75 + 17) = 8,7$ , tudíž $L = 5.10^8\,L_{\odot}= 1,9.10^{35}\,$ W. Celkové množství vyzářené energie je $1,9.10^{35}.3,6.10^6 = 7.10^{ 41}\,$ J.

Řešení úlohy 10.21
Nejprve uvažujte případ, kde bol $= - 16,0\,$ mag, což je o $20,8\,$ mag jasnější než Slunce. Odpovídá to zářivému výkonu $L\approx2.10^8\,L_{\odot}$ . Užitím vztahu $L\approx R^2T_$ ef a porovnáním se Sluncem obdržíme ef $= 7\,000\,$ K $\cong1,2T_{\text{ef}\odot}$ , dále nalezneme $R\approx9\,900\,R_{\odot}\approx4,6\,\mathrm{AU}$ . Tedy supernova se vyznačuje poloměrem fotosféry, který by sahal až za poloměr dráhy Marsu. Při bol $= - 19,0\,$ mag, kdy je supernova ještě jasnější, je její poloměr $R=180\,\mathrm{AU}$ .

Řešení úlohy 10.22
Nechť v čase je v $1\,$ kg kobaltu $N_0=1.10^{25}$ atomů, za 1 sekundu se rozpadne $N_1=N_0\lambda=10^{18}$ atomů. Uvolněná energie při rozpadu 1 atomu je $6.10^{-13}\mathrm{J}$ . Odhadovaný počet rozpadů za 1 sekundu je $\frac{10^{35}}{6.10^{-13}}\cong1,7.10^{47}$ , čemuž odpovídá hmotnost $\frac{1,7.10^{47}}{10^{18}}\cong1,7.10^{29}\mathrm{kg}\cong0,085M_{\odot}$ .

Řešení úlohy 10.23
$v=\left(\frac{2E}{m}\right)^{1/2}\cong1,4.10^{4}\mathrm{km}$ .

Řešení úlohy 10.24
Dosazením obdržíme $T = 2 .10^7\,$ K. Při průchodu rázové vlny vzniká mimo jiné brzdné tepelné rtg. záření, supernova se tak stává intenzivním zdrojem rtg. záření.

Řešení úlohy 10.25
Lineární průměr mlhoviny $2R \cong 40\,\pc$ , stáří je odhadováno na $10\,000\,$ roků.

Řešení úlohy 10.26
Z III. Keplerova zákona obdržíme pro velikost velké poloosy dvojhvězdy, tedy pro vzdálenost obou složek $a=\left[\frac{1}{4\pi^2}GT^2\left(M_1+M_2\right)\right]^{1/3}=5,2.10^{8}\mathrm{m}$ . Vzdálenost mezi primární složkou a vnitřním Lagrangeovým bodem je dána $l_1=a\left(0,500-0,227\log\frac{M_2}{M_1}\right)=3,4.10^8\mathrm{m}$ . Z Cha je polodotykovým systémem, sekundární složka zaplňuje Rocheův prostor, vzdálenost mezi sekundární složkou a vnitřním Lagrangeovým bodem je zároven velikostí druhé složky. Platí $R_2=l_2=a-l_1=1,8.10^8\mathrm{m}$ . To zhruba souhlasí s poloměry hvězd HP spektrální třídy M6. Poloměr oběžné kruhové dráhy je $r_{\mathrm{kr}}=a\left(\frac{l_1}{a}\right)^4\left(1+\frac{M_2}{M_1}\right)=1,2.10^8\mathrm{m}$ . Odhad vnějšího poloměru disku je $R_{\mathrm{disk}}\cong2r_{\mathrm{kr}}=2,4.10^8\mathrm{m}$ . Přenos hmoty je přibližně $\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}=1,3.10^{-9}M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}=7,9.10^{13}\mathrm{kg}.\mathrm{s}^{-1}$ . Maximální hodnota teploty disku je $T_{\max}=$
$0,488\left(\frac{3GM{\mathrm d}M/{\mathrm d}t}{8\pi\sigma R^3}\right)^{1/4}=4,4.10^4\,\mathrm{K}$ . Při pohybu směrem k vnějším oblastem disku teplota klesá z $44 \,000 \,\mathrm{K}$ na $8 \,000 \,\mathrm{K}$ . Podle Wienova posunovacího zákona to odpovídá změně $\lambda_{\max}$ z $66\,\mathrm{nm}$ na $363\,\mathrm{nm}$ . Celkový zářivý výkon disku, integrovaný přes všechny vlnové délky je $\displaystyle L_{\mathrm{disk}}=G\frac{M\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}}{2R}=6,8.10^{26}\mathrm{W}$ .

Řešení úlohy 10.27
Efektivita uvolňování energie při akreci je $\eta=\frac{1}{2}\frac{R_g}{R}\,100\%$ . Konkrétně pro neutronovou hvězdu $\eta\cong20\%$ a pro bílého trpaslíka $\eta\cong0,04\%$ . V případě pp řetězce je $\eta\cong0,7\%$ , obvykle zaokrouhlujeme $\eta\cong1\%$ .

Řešení úlohy 10.28
Pro maximální teplotu disku platí $T_{\max}= 0,488\left(\frac{3GM\,{\mathrm d}M/{\mathrm d}t}{8\pi\sigma R^3}\right)^{1/4}$ . V prvním případě obdržíme $T_{\max} = 2,6 . 10^4\,\mathrm{K}$ , což odpovídá $\lambda_{\max} = 110\,\mathrm{nm}$ . Zářivý výkon disku určíme ze vztahu $L_{\mathrm{disk}}=G\frac{M\,{{\mathrm d}M}/{{\mathrm d}t}}{2R}$ , dostaneme $8,6 . 10^{ 25}\mathrm{W}$ , tedy $0,22\,L_{\odot}$ . Obdobně pro disk u neutronové hvězdy stanovíme $T_{\max} = 6,9 . 10^6\,\mathrm{K}$ , což odpovídá $\lambda_{\max} = 0,4\,\mathrm{nm}$ , tudíž rtg. části spektra. Zářivý výkon disku je $9,3 . 10^{ 29}\mathrm{W}$ , tedy $2,4 . 10^3L_{\odot}$ .

Řešení úlohy 10.29
Skutečný průměr mlhoviny při $\alpha=0,00204\,\mathrm{rad}$ je $D=r\alpha=0,3\,\pc$ . Stáří určíme ze vztahu $T=\frac{D}{v}=\frac{0,3\;3,08.10^{16}}{2,5.10^4}\cong 4.10^{11}\mathrm{s}\cong 10^4\,$ roků.

Řešení úlohy 10.30
Rozdíl rychlostí mezi částicemi za předpokladu $v\cong c$ je $\Delta v=\frac{r}{t_1}-\frac{r}{t_2}\cong\frac{c^2\Delta t}{r}$ . Dále platí $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cong\sqrt{\frac{2\Delta v}{c}}\cong\sqrt{\frac{2c\Delta t}{r}}\cong3,5.10^{-7}$ , tudíž $m_\nu c^2\cong\Delta E\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cong3,5\mathrm{eV}$ . Horní hranice hmotnosti je $m_\nu\cong6.10^{-36}\mathrm{kg}$ .