Mechanický tlumený oscilátor

Příspěvek se zabývá studiem modelu odporové síly při pohybu těles ve vzduchu na základě elementárního numerického zpracování fotografického záznamu pohy mechanického oscilátoru.

obr. 1

Většina mechanických úloh a demonstračních experimentů na střední škole se řeší a interpretuje za předpokladu, že odpor prostředí při pohybu těles ve vzduchu lze zanedbat. Tento předpoklad však není realistický a zejména při interpretaci experimentů je třeba odpor vzduchu započíst. Tento příspěvek se zabývá studiem charakteru vlivu odporu vzduchu na pohyb těles prostřednictvím mechanického oscilátoru. Demonstrační experiment, pomocí něhož testujeme vhodnost různých modelů závislosti odporové síly vzduchu na rychlosti tělesa, je jednoduchý, efektní (viz. obr.1) a nepříliš nákladný a na rozdíl od experimentů nevyužívajících kmitání nevyžaduje ani příliš prostoru. Také jeho vyhodnocení je poměrně elementární.

V levé části obr.1 je vidět obyčejný pružinový mechanický oscilátor, který je navíc osazen svítivou diodou. Oscilátor může kmitat jako netlumený nebo k němu může být přidán tlumící prvek, v našem případě čtvercová kartónová deska. Tato fotografie vznikne tak, že exponujeme digitálním fotoaparátem umístěným na otočném stativu v tmavé místnosti, a to s těmito parametry:

nastavení fotoaparátu:

čas závěrky - 30 s
ekvivalent citlivosti filmu - ISO 400
clonové číslo - 5
synchronizace blesku s dlouhými časy závěrky, záblesk na začátku expozice

expozice:

fotoaparát natavíme tak, že oscilátor máme v levé části zorného pole, zahájíme expozici (v tento okamžik nám blesk osvítí pozadí s měřítkem) , začneme otáčet fotoaparátem na stativu (tímto pohybem rozvineme pohyb oscilátoru z úsečky do roviny). Nerovnoměrnost rotačního pohybu fotoaparátu způsobí "rostřesenost" výsledné fotografie, toto ovšem není nijak na škodu, protože periodu známe z jednoduchého měření se stopkami. Tato "nerovnoměrnost" způsobená ruční rotací nijak neovlivní přesnost našeho měření a zároveň nám ušetří náklady za přídavná zařízení.

Nejčastěji užívaným typem závislosti odporové síly prostředí na rychlosti pohybu je závislost lineární, (například pro kouli je obvyklý Stokesův vzorec , kde r je poloměr koule a h dynamická viskozita prostředí). Motivem této volby je většinou možnost získat analytické řešení problému. Lineární oscilátor s Hookovou pružnou silou tlumený odporovou silou tohoto typu má pohybovou rovnici:

(1)

kde k je tuhost pružiny a m hmotnost tělesa.

Rovnici (1) lze přepsat do tvaru

(2)

kde

Řešení této rovnice má při vhodné volbě počátečních podmínek tvar:

(3)

(4)

kde je časově proměnná amplituda, která určuje křivku, jíž se dotýká graf závislosti výchylky oscilátoru na čase (tzv. obálka grafu).

Zvolíme-li ve vztahu (3) počáteční amplitudu, periodu a celkovou dobu, po kterou sledujeme kmitání, shodně s experimentem a znázorníme-li řešení (3) graficky (viz. obr.2), můžeme přímo porovnat útlum modelového oscilátoru se skutečným (například srovnáním výšek prvních několika odpovídajících si maxim).

obr. 2

Při nafitování experimentálních údajů teoretickou křivkou v oblasti prvních deseti kmitů však zjišťujeme, že po uplynutí delší doby je teoretický útlum výrazně vyšší než útlum naměřený (viz. obr.1 a 2). To tedy znamená, že pro oscilátor, kde tlumícím prvkem je deska kmitající spolu s oscilátorem ve vzduchu, je lineární model tlumení nevyhovující.

Typickým příkladem tohoto modelu je Newtonův vztah pro odporovou sílu

, kde r je hustota vzduchu, S je obsah příčného řezu vzhledem ke směru pohybu a C je empirická konstanta, závisející mimo jiné na tvaru tělesa a jeho orientaci vzhledem ke směru pohybu. Obecný vztah pro odporovou sílu tohoto typu má tvar

kde v je velikost rychlosti.

Oscilátor s Hookovou pružnou silou tlumený odporovou silou tohoto typu má pohybovou rovnici:

(5)

kterou lze přepsat do tvaru

(5a)

kde

Řešení rovnice (5) nedokážeme získat v analytickém tvaru, umíme ji však snadno řešit numericky. Graf řešení odpovídajícího stejným počátečním podmínkám jako při experimentu je na obr.3

obr. 3

Srovnáme-li obr.1 s obr.3, vidíme, že obě křivky jsou si již výrazně podobné, avšak z pouhého pohledu nemůžeme usuzovat na korektnost modelu s "kvadratickým tlumením". Oprávněnost užití tohoto modelu budeme muset ještě ověřit.

Ověření provedeme dvěma způsoby:

• a) Jednoduchým přibližným výpočtem pomocí úvahy o poklesu amplitudy v čase a proložením výsledné křivky naměřenými body reprezentujícími jednotlivé maximální výchylky.
• b) Proložením numericky vypočtené trajektorie oscilátoru naměřenými body reprezentujícími jednotlivé maximální výchylky.

Za dobu odpovídající polovině periody, , se amplituda příliš nezmění. Proto můžeme předpokládat, že přibližně platí:

Změna energie za polovinu periody, kde počáteční výchylka oscilátoru je y(0) = A, je pak :

V časové škále několika period pak můžeme psát přibližně:

(6)

Využijeme vztah pro energii oscilátoru:

(7)

Ze vztahů (6) a (7) dostaneme rovnici:

jejímž řešením je vztah pro změnu amplitudy v čase:

(8)

kde K je integrační konstanta. Vztah (8) zjednodušíme na tvar:

(9)

Provedeme-li proložení naměřených hodnot funkcí (9), získáme graf, z nějž je patrné, že model "kvadratickým" tlumením velmi dobře odpovídá našemu reálnému oscilátoru (viz. obr.4).

obr. 4

Zakreslíme-li do jednoho grafu vypočtenou trajektorii a naměřené body, objevíme značnou nesrovnalost mezi vypočtenou a naměřenou úhlovou frekvencí reálného oscilátoru, kde úhlová frekvence naměřená je větší než vypočtená. Jediné dva parametry, a to w₀ a b vstupující do rovnice (5a), mohou měnit úhlovou frekvenci oscilátoru. Hodnotu zlomku jsme již stanovili při předchozím proložením funkce (9) naměřenými body , tj. do rovnice (5a) musí vstupovat jiná úhlová frekvence netlumeného oscilátoru w_0R ,která odpovídá skutečně naměřené hodnotě w. Vzhledem k tomu, že tuhost pružiny k je konstanta, docházíme k závěru, že úhlová frekvence našeho oscilátoru je taková, jak by odpovídalo oscilátoru s vyšší hmotností. Pro přídavnou hmotnost pak platí:

kde je "klidová" hmotnost tělesa. pak musíme interpretovat jako přídavnou hmotnost vzduchu, který s sebou nese tlumící prvek (deska) oscilátoru.

Takto můžeme velmi snadno zjistit, jak velkou přídavnou hmotnost s sebou tlumící prvek oscilátoru nese a zároveň se snažit tento efekt eliminovat. Při experimentech s různými druhy tlumících prvků tvaru plochých desek se ukazuje, že je velmi výhodné použít značně perforované desky (viz. obr.5) a vyvarovat se plných (viz obr.6). Rozdíl přídavných hmotností je u takovýchto desek shodných rozměrů (0,2 m x 0,2 m) celých 3,6 g.

obr. 5 ()	obr. 6 ()

Využijeme-li Newtonův vztah pro odporovou sílu a znalost hodnoty přídavné hmotnosti dokážeme pomocí vztahu (8) zjistit i hodnotu empirické konstanty C. Provedeme-li tento výpočet získáme hodnotu C = 1,3 . Tabulková hodnota pro plochou desku je C = 1, což opět potvrzuje, že Newtonův vztah vyhovuje našemu kvadratickému modelu odporové síly.