Kvíz: Elektrodynamika a aplikace

Kvíz: Elektrodynamika a optika

Otestujte své znalosti z oblasti elektro/magnetostatiky, vyzařování elektromagnetických vln, vlnovodů, rezonátorů a geometrické optiky. Vektory jsou v zadání i možnostech značeny tučným písmem.

1. Jak závisí velikost intenzity elektrického pole $|\mathbf{E}|$ ideálního bodového dipólu na vzdálenosti $r$ (pro dostatečně velká $r$)?

Klesá jako $1/r^2$ Klesá jako $1/r^3$ Klesá jako $1/r$ Klesá jako $1/r^4$

Řešení: Pole dipólu klesá se třetí mocninou vzdálenosti ($1/r^3$). Vyplývá to z prostorové derivace (gradientu) dipólového potenciálu, který sám klesá s druhou mocninou vzdálenosti.

2. Při volbě Coulombovy kalibrace ($\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$) má vektorový potenciál $\mathbf{A}$ pro statické, prostorově homogenní magnetické pole o indukci $\mathbf{B}$ tvar:

$\mathbf{A} = \mathbf{B} \times \mathbf{r}$ $\mathbf{A} = -\nabla(\mathbf{B} \cdot \mathbf{r})$ $\mathbf{A} = \frac{1}{2} (\mathbf{B} \times \mathbf{r})$ $\mathbf{A} = \mathbf{r} \times (\nabla \times \mathbf{B})$

Řešení: Správně je $\mathbf{A} = \frac{1}{2} (\mathbf{B} \times \mathbf{r})$. Aplikací operátoru rotace na tento výraz získáme zpět původní konstantní pole $\mathbf{B}$ (dle vzorce $\nabla \times (\mathbf{B} \times \mathbf{r}) = 2\mathbf{B}$ pro konstantní $\mathbf{B}$) a divergence takového vektoru je nulová.

3. Bodový náboj se začne v čase $t=0$ zrychleně pohybovat z počátku soustavy souřadnic. V jakém nejkratším čase $t$ může pozorovatel ve vzdálenosti $L$ od počátku teoreticky zaznamenat změnu elektrického pole (tzv. retardovaný děj)?

$t = 0$ $t = L/c$ $t = L^2 / c^2$ $t = L / (c - v)$

Řešení: Změny elektromagnetického pole se šíří rychlostí světla $c$. Proto jakákoliv informace o změně polohy náboje dorazí na vzdálenost $L$ nejdříve za čas $L/c$.

4. Jaký je integrální vztah pro magnetickou indukci $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ generovanou stacionárním rozložením proudu o hustotě $\mathbf{j}(\mathbf{r}')$ podle Biot-Savartova zákona?

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}') \times (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} d^3\mathbf{r}'$ $\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}') \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} d^3\mathbf{r}'$ $\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}') \times (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2} d^3\mathbf{r}'$ $\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \nabla \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d^3\mathbf{r}' \right)$

Řešení: V magnetostatice je příspěvek k poli kolmý na směr toku proudu i na vektor vzdálenosti (proto vektorový součin v čitateli). Ve jmenovateli vystupuje třetí mocnina vzdálenosti, protože vektorový čitatel přidává jednu mocninu vzdálenosti navíc oproti klasickému inverznímu čtverci.

5. Uvažujte ideální harmonicky oscilující elektrický dipól. Jaká je úhlová závislost jím vyzařovaného průměrného výkonu (kde $\theta$ je úhel mezi osou kmitání dipólu a směrem k pozorovateli)?

Vyzařuje izotropně (rovnoměrně do všech směrů). Je úměrná $\cos^2 \theta$ Je úměrná $\sin^2 \theta$ Je úměrná $\cos \theta$

Řešení: Elektromagnetické pole (radiační část) kmitá kolmo k ose vyzařování, amplituda polí je úměrná $\sin \theta$. Intenzita (výkon) jako kvadratická veličina je tak úměrná $\sin^2 \theta$. V ose pohybu ($\theta = 0$) dipól nevyzařuje vůbec.

6. Oscilující elektrický dipól vyzařuje elektromagnetické vlnění. Zvýšíme-li frekvenci jeho oscilací $\omega$ na trojnásobek (při zachování amplitudy kmitů), jak se změní celkový průměrný vyzařovaný výkon?

Zvětší se 3krát Zvětší se 9krát Zvětší se 27krát Zvětší se 81krát

Řešení: Larmorův vzorec říká, že výkon je úměrný kvadrátu zrychlení ($a^2$). U harmonického pohybu platí $a \propto \omega^2$. Vyzařovaný výkon dipólu je tudíž úměrný $\omega^4$. Při ztrojnásobení platí $3^4 = 81$.

7. Ve vlnovodu se šíří elektromagnetická vlna. Označme fázovou rychlost vlny $v_f$ a grupovou rychlost $v_g$. Jaký je teoretický vztah mezi těmito rychlostmi a rychlostí světla $c$ ve vlnovodu vyplněném vakuem?

$v_f = v_g = c$ $v_f \cdot v_g = c^2$ $v_f + v_g = 2c$ $v_f / v_g = c$

Řešení: Z disperzní relace pro vlnovod $\omega^2 = \omega_{mez}^2 + c^2 k^2$ přímo vyplývá, že fázová rychlost je vždy větší než rychlost světla (pouze fázová, nikoliv tok energie) a grupová je menší. Jejich součin je dán vztahem $v_f \cdot v_g = c^2$.

8. Uvažujte pravoúhlý vakuový vlnovod s vnitřními rozměry $a$ (šířka) a $b$ (výška), kde $a > b$. Jaká je mezní (kritická) kruhová frekvence $\omega_{10}$ pro šíření základní vlny typu $TE_{10}$?

$\omega_{10} = \frac{\pi c}{b}$ $\omega_{10} = \frac{\pi c}{a}$ $\omega_{10} = \frac{2\pi c}{a}$ $\omega_{10} = \pi c \sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$

Řešení: Vlnové číslo pro dominantní mód $TE_{10}$ je příčně rovno $k_x = \pi/a$ (tvoří se jedna půlvlna podél širší stěny vlnovodu). Mezní frekvence je tak $\omega = k_x c = \pi c / a$.

9. Dutý rezonátor má tvar uzavřené krychle o vnitřní hraně délky $a$. Jaká je nejnižší možná rezonanční kruhová frekvence $\omega$ tohoto vakuového rezonátoru?

$\omega = \frac{\pi c}{a}$ $\omega = \frac{\sqrt{3} \pi c}{a}$ $\omega = \frac{\sqrt{2} \pi c}{a}$ $\omega = \frac{2 \pi c}{a}$

Řešení: V trojrozměrném krychlovém rezonátoru se nejnižší vid (např. $TE_{101}$) ustaví podél dvou prostorových os. Celkové vlnové číslo je velikostí vektoru $\mathbf{k}$, kde dvě složky jsou $\pi/a$ a jedna $0$. Dostaneme $k = \sqrt{(\pi/a)^2 + 0 + (\pi/a)^2} = \frac{\sqrt{2}\pi}{a}$, z čehož plyne výsledek pro frekvenci.

10. Fermatův princip pro geometrickou optiku stanovuje, že světlo se šíří mezi dvěma body po takové dráze, která minimalizuje (nebo zanechává stacionární) čas průchodu. Jak lze tuto podmínku zapsat integrálně s pomocí indexu lomu prostředí $n(\mathbf{r})$ a elementu geometrické dráhy $ds$?

$\delta \int n(\mathbf{r}) \, ds = 0$ $\delta \int \frac{ds}{n(\mathbf{r})} = 0$ $\delta \int n^2(\mathbf{r}) \, ds = 0$ $\delta \int \mathbf{r} \cdot \nabla n(\mathbf{r}) \, ds = 0$

Řešení: Tento integrál $\int n(\mathbf{r}) \, ds$ definuje tzv. optickou dráhu. Čas potřebný k průletu úseku $ds$ je $dt = ds/v = ds / (c/n) = (n/c)ds$. Hledání extrémy času se tak omezuje na variaci optické dráhy s nulovým výsledkem.