\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}
\usepackage{newcent}
\usepackage{fouriernc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[hmargin=2.5cm, vmargin=3.5cm]{geometry}
\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}
\usepackage{color}
\usepackage{mathrsfs}
\newlength{\sirka}
\setlength{\sirka}{\textwidth}
\let\phi\varphi
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\R}{\field{R}}
\newcommand{\C}{\field{C}}
\newcommand{\Z}{\field{Z}}
\newcommand{\DF}{\mathscr{D}}
\newcommand{\N}{\field{N}}
\newcommand{\ww}{\wedge}
\newcommand{\TT}{\mathrm{t}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}\,}
\newcommand{\sd}{\ensuremath{\;|\;}}
\DeclareMathOperator{\zob}{\rightarrow}
\DeclareMathOperator{\vloz}{\hookrightarrow}
\DeclareMathOperator{\II}{i}
\DeclareMathOperator{\EE}{e}
\newcommand{\OO}{\mathbf{O}}
\newcommand{\SO}{\mathbf{SO}}
\newcommand{\SK}[1]{\langle{#1}\rangle}
\newcommand{\UN}[1]{({#1})}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{titlesec}
\titleformat{name=\section}[block]
{\filcenter\normalfont\Large\bfseries\itshape}
{\thesection}{1pt}{\!.\;}
\titleformat{name=\subsection}[runin]
{\normalfont\bfseries}
{\thesubsection}{1pt}{\!\hspace*{0.08em}.\;}[\hspace*{0.08em}.\!]
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\setlength{\headheight}{14pt}
\fancyhead[RO]{\small\itshape \nouppercase{\rightmark}}
\fancyhead[LO]{}
\fancyhead[RE]{}
\fancyhead[LE]{\small\itshape \nouppercase{\leftmark}}
\cfoot{\small\itshape \thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.6pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.6pt}
\setlength{\parskip}{.5\baselineskip}
\setlength{\parindent}{0pt}
\newcounter{prikl}
\newcommand{\cv}{\addtocounter{prikl}{1}\textit{Příklad~\arabic{prikl}.}$\;$}
\let\phi\varphi
\usepackage{url}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary[topaths]
\usetikzlibrary[snakes]
\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.9}
\usepgfplotslibrary{patchplots}
\begin{document}

\section{Pokyny pro vypracování}
Zvolený příklad z~druhé kapitoly vypracujte písemně (nejlépe vysázejte pomocí \LaTeX{}u) a dodejte
osobně po předchozí domluvě mailem na \url{krbek@physics.muni.cz}. 
Dále si vyberte tři z~jednodušších úloh v~třetí kapitole a rovněž je vypracujte.
Řešení budeme následně diskutovat. Pokud bude řešení správné a úplné, bude Vám udělen
zápočet. Žádní dva studenti nemohou řešit stejný příklad, proto se mezi sebou
musíte domluvit. 

\section{Příklady na udělení zápočtu z~variačního počtu}
\subsection{Soustava harmonických oscilátorů, její symetrie a přechod od této
soustavy ke spojité struně}
Uvažujme soustavu $N$ harmonických oscilátorů: každý o~hmotnosti $m$, jež jsou
spojeny $N$ pružinami o~tuhosti $k$, tak, že $j$-tý oscilátor je spojen
s~$(j+1)$-ním, $j\in\{1,\ldots,N-1\}$ a $N$-tý opět s~prvním (viz obrázek
\ref{f_oscil}).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{pruzina/.style={thick,decorate, decoration={snake},>=triangle 60}}
\def \n {8}
\def \m {6}
\def \radius {3cm}
\def \margin {8.5}

\foreach \s in {1,...,\m}
{
  \draw[pruzina] ({360/\n * (\s - 1) + \margin}:\radius) --({360/\n * \s -
  \margin}:\radius);
  \node[draw, circle, thick,minimum size = 0.9cm] at ({360/\n * (\s - 1)}:\radius) {$\s$};
}

\node[draw, circle, thick,minimum size = 0.9cm] at ({360/\n * (7 - 1)}:\radius) {$7$};
\draw[loosely dotted,thick] ({360/\n * (7 - 1) + \margin}:\radius) --({360/\n
* 7 - \margin}:\radius);
\node[draw, circle, thick, minimum size = 0.9cm] at ({360/\n * (8 - 1)}:\radius) {$N$};
\draw[pruzina] ({360/\n * (8 - 1) + \margin}:\radius) --({360/\n * 8 -
  \margin}:\radius);
\end{tikzpicture}
\caption{Konfigurace soustavy harmonických oscilátorů}
\label{f_oscil}
\end{center}
\end{figure} 

\begin{enumerate}
\item[(a)] Napište lagrangián a akci pro tuto soustavu oscilátorů a napište rovněž
příslušné pohybové rovnice. Využijte maticový zápis soustavy rovnic, 
\begin{equation}
\label{e_oscil}
\ddot{u} = -\omega^2 Au,
\end{equation}
kde $\omega^2 = k/m$ a $u$ je vektor výchylek oscilátorů, $A$ je jistá
$N\times N$ matice.
Můžete využít maticového zápisu i pro potenciální a kinetickou energii
soustavy.
\item[(b)] Vyřešte soustavu rovnic pro $N=4$.
\item[(c)] Uvažte symetrii soustavy oscilátorů vzhledem k~otočení, které
přesune první oscilátor do druhého, $j$-tý do $(j+1)$-ního a $N$-tý do
prvního. Tuto symetrii vyjádřete maticí $S$.
\item[(d)] Skutečnost, že $S$ je symetrií soustavy oscilátorů znamená, že je
rovněž symetrií soustavy rovnic (\ref{e_oscil}) a tedy platí, že rovnice
\begin{equation}
S\ddot{u} = -\omega^2 A~Su
\end{equation}
je stejná jako rovnice (\ref{e_oscil}). Z~toho plyne $SA=AS$. Ověřte to přímo. 
\item[(e)] Matice $S$ a $A$ komutují, mají tedy shodné systémy vlastních
vektorů. Nalezněte vlastní hodnoty a vektory $S$ a tím i vlastní vektory $A$. 
Uvědomte si, že $S^N=1_N$ (jednotková matice).
\item[(f)] Ukažte, že vlastní hodnoty $A$ jsou
\begin{equation}
\lambda_k = 2\left( 1 - \cos \frac{2\pi k}{N} \right). 
\end{equation}
\item[(g)] Proveďte přechod $N\zob \infty$ od součtů k~integraci přes úhlovou souřadnici
$\phi$ pro akci z~(a) a získejte tím Lagrangeovu hustotu.
\item[(h)] Odvoďte a obecně řešte pohybové rovnice pro získanou Lagrangeovu
hustotu.
\item[(i)] Jaký operátor v~tomto spojitém případě odpovídá operátoru $S$ a
jaký zákon zachování mu odpovídá?
\end{enumerate}

\subsection{Minimální plochy v~$\R^3$}
Minimální plocha je plocha s~okrajem, jejíž každý bod mimo hranici má okolí, které má minimální
možnou plochu vzhledem k~dané hranici tohoto okolí.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zformulujte předchozí zadání jako variační úlohu pro jistý variační
funkcionál pro funkci $f(x,y)$, jež popisuje plochu.
\item[(b)] Spočtěte Euler--Lagrangeovy rovnice příslušné tomuto funkcionálu a
tím i nutnou podmínku pro minimální plochu.
\item[(c)] Nalezněte minimální plochu ve speciálním případě, kdy se jedná
o~plochu vzniklou rotací křivky kolem jisté osy.
\item[(d)] Formulujte a řešte úlohu rovněž pro případ, kdy je plocha zadána
parametricky jako $F\colon \R^2 \zob \R^3$.
\item[(e)] Dokažte, že helikoida (viz obrázek \ref{f_helic}) je minimální plochou. Parametrické vyjádření
helikoidy (tj. její vložení do $\R^3$) je dáno
\begin{align}
F\colon \quad \R^2 &\zob \R^3 \\
\begin{pmatrix} r \\ \phi \end{pmatrix} &\mapsto
\begin{pmatrix} x\\ y\\ z~\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} r \cos a\phi \\ r\sin a\phi\\ \phi \end{pmatrix},
\end{align}
kde $a\in \R$ je parametr.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
\addplot3[
surf,
z buffer=sort,
domain=0:1, domain y=-2*pi:2*pi,
samples=20, samples y=40,
variable=\u, variable y=\v,
point meta=u,
]
({u*cos(deg(v))},
{u*sin(deg(v))},
{v});
\end{axis} 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Závit helikoidy s~parametrem $a=1$}
\label{f_helic}
\end{figure}
\item[(f)] Ukažte, že Euler-Lagrangeovy rovnice z~části (d) jsou ekvivalentní
požadavku, aby tzv. střední křivost $H$ byla nulová. Střední křivost je
aritmetickým průměrem obou hlavních křivostí, tedy
\begin{equation}
H = \tfrac{1}{2} \left( \kappa_1 + \kappa_2 \right).
\end{equation}
O~střední křivosti se více dovíte na
\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_curvature},
o~hlavních křivostech potom na
\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_curvature}.
\end{enumerate}

\subsection{Hamiltonián z~lagrangiánu řešením variačního problému s~vazbou}
Mějme klasický variační problém, tj. hledáme minimum funkcionálu
\begin{equation}
\label{e_vp}
\min_u \int_a^b L(x,u,u') \dd x.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Ukažte, že výše uvedenou minimalizaci (\ref{e_vp})  lze ekvivalentně popsat jako variační 
problém hledání minima
\begin{equation}
\min_{u,v} \int_a^b L(x,u,v) \dd x 
\end{equation}
doplněného podmínkou $u'(x)=v(x)$.
\item[(b)] Tento problém řešte metodou Lagrangeových multiplikátorů, viz.
\begin{center}
\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier} 
\end{center}
adaptovanou pro
variační počet. Lagrangeův multiplikátor označíme $p(x)$. Hledáme tedy
\begin{equation}
\min_{u,v} \max_p \int_a^b \left[L(x,u,v) - p(u'-v) \right]\dd x.
\end{equation}
\item[(c)] Předchozí výraz upravte užitím metody per partes na integrand
$pu'\dd x$, dále užijte max-min nerovnost
\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Max-min_inequality}
\item[(d)] Pro nově vzniklý funkcionál napište první variaci. (lagrangián
nezávisí na $u'$ ani $v'$). Získejte $p$ a $p'$ jako funkce $u$ a $v$.
\item[(e)] Z~funkcionálu vyloučete funkce $p$ a $p'$. Co získáme?
\item[(f)] Vyloučete funkce $u$ a $v$. Získáme tzv. duální variační problém
vzniklý Legendreovou transformací.
\item[(g)] Vyloučete $v$ a $p'$. Získáme Hamiltonovu formulaci variačního
problému.
\item[(h)] Předchozí proveďte konkrétně pro lagrangiány příslušné harmonickému
oscilátoru a také pohybu částice v~homogenním poli.
\item[(i)] Na příkladech z~(h) ověřte, že Legendreova transformace je
involutivní (tj. její aplikace dvakrát po sobě je identita).
\end{enumerate}

\subsection{Vlastnosti extremality pro vlastní hodnoty operátorů}
Uvažte problém vlastních hodnot pro Laplaceův operátor na 
''dostatečně regulární`` oblasti
$\Omega\subset \R^2$ s~Dirichletovými okrajovými podmínkami, tj.
\begin{equation}
- \Delta u = \lambda u, \quad u=0 \text{ na } \partial \Omega.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Ukažte, že nejmenší vlastní hodnota $\lambda_1$ je kladná, má
násobnost rovnu jedné a že k~ní příslušná vlastní funkce $u_1$ nemá na
$\Omega$ nulové body.
\item[(b)] Označme $\cal{O}$ množinu všech ''dostatečně regulárních`` oblastí
v~$\R^2$. Uvažujte variační problém
\begin{equation}
\min_{\Omega \in \cal{O}} \lambda_1(\Omega), \quad \mu(\Omega)=A,
\end{equation}
kde $\mu$ je Jordanova míra a $\mu(\Omega)$ je tedy plocha oblasti $\Omega$,
$A>0$. Ukažte, že minimy tohoto variačního problému jsou kruhy o~ploše $A$ a
řešení je až na translaci určeno jednoznačně.
\end{enumerate}

\subsection{Variační funkcionál k zobecněné Poissonově rovnici}
Uvažujte variační funkcionál 
\begin{equation}
\label{e_vpois}
\int_\Omega \left[\SK{K(\nabla u), \nabla u} -fu \right] \dd x
\end{equation}
pro dostatečně hladkou funkci 
\begin{align}
u\colon \R^n &\zob \R \\
  x &\mapsto u(x)
\end{align}
na regulární oblasti $\Omega\subset \R^n$. Ve funkcionálu (\ref{e_vpois}) je
dále $K$ v~každém bodě $x$ oblasti $\Omega$ lineární, symetrický a pozitivní operátor, 
($K$ je zadáno jako
$n\times n$ matice funkcí na $\Omega$), $\nabla$ je gradient, $\SK{\cdot,\cdot}$ značí
skalární součin a $f$ je zadaná funkce.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Odvoďte Eulerovu--Lagrangeovu rovnici pro výše uvedený funkcionál
(\ref{e_vpois}).
\item[(b)] Jakou volbou $K$ a $f$ dostaneme standardní Poissonovu rovnici?
\item[(c)] Jaký je fyzikální význam $K$ a $f$?
\item[(d)] Uvažte rovinný problém, tedy $n=2$, a polární souřadnice. Dále
vezměte $K$ diagonální a závisející pouze na polární souřadnici $r$. Napište a
obecně řešte Lagrangeovy rovnice pro tento případ. Objasněte zase fyzikální význam
rovnice.
\item[(e)] Diskutujte jednoznačnost Dirichletovy úlohy pro rovnici z~(a).
Dirichletova úloha je rovnice (a) doplněná okrajovou podmínku $u=0$ 
na $\partial \Omega$.
\end{enumerate}

\subsection{Geodetické křivky na válci}
Uvažujte nekonečný válec o poloměru $R$, jehož osou je osa $z$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Spočtěte element délky oblouku ve válcových souřadnicích $\phi$ a
$z$.
\item[(b)] Napište vztah pro délku křivky zadané ve válcových souřadnicích,
nalezněte a řešte Euler-Lagrangeovy rovnice.
\item[(c)] Je řešení úlohy (b) jednoznačné? Formulujte podmínku pro minimum.
\item[(d)] Stejnou úlohu řešte v kartézských souřadnicích s vazební podmínkou
$x^2+y^2=R^2$ pomocí metody Lagrangeových multiplikátorů.
\end{enumerate}
\section{Jednodušší úlohy k~zápočtu}
Příklady jsou vesměs vybrány z~doporučené učebnice Gelfand, Fomin: Calculus of
Variations.
\subsection{Euler--Lagrangeovy rovnice a jejich řešení}
\begin{enumerate}
\item[(1)] Najděte a řešte Euler--Lagrangeovy rovnice pro funkcionál
\[
\int_a^b \left(\tfrac{1}{2}m \dot{u}^2 -\tfrac{1}{2}ku^2-Au\sin\Omega
t\right) \dd t
\]
Na jakou fyzikální úlohu se předchozí funkcionál vztahuje?
\item[(2)] Najděte obecné řešení Euler--Lagrangeovy rovnice pro funkcionál
\[
\int_a^b f(x)\sqrt{1+(y')^2} \dd x.
\]
\item[(3)] Najděte rovnovážnou polohu homogenního řetězu, jehož konce jsou
upevněny na svislé stěně (obecně v~různých výškách).
\item[(4)] Mezi všemi křivkami v~rovině $xy$ spojujícími bod $(0,b)$ na ose
$y$ s~osou $x$ a jež společně se souřadnicovými osami ohraničuje obsah $S$ najděte takovou, jejíž rotací kolem 
osy $x$ získáme rotační plochu, která má co nejmenší možný obsah.
\end{enumerate}


\subsection{Obecné vlastnosti funkcionálů}
\begin{enumerate}
\item[(5)] Najděte Hamiltonovy rovnice pro extremály funkcionálu
\[
\int_a^b \sqrt{x^2+y^2}\sqrt{1+(y')^2}\dd x
\]
a pomocí nich určete první integrál pro Eulerovy--Lagrangeovy rovnice.
\item[(6)] Spočtěte druhou variaci funkcionálu
$\exp(S[u])$, kde $S[u]$ je dvakrát diferencovatelný funkcionál.
\item[(7)] Dokažte, že u~funkcionálu typu
\[
\int_a^b L(t,\dot{x}) \dd t
\]
se nevyskytují sdružené body.
\end{enumerate}
\subsection{Variační úlohy pro vícerozměrné oblasti, zákony zachování}
\begin{enumerate}
\item[(8)] Najděte extremály níže zadaného funkcionálu na oblasti $\Omega\subset \R^n$
\[
\tfrac{1}{2} \int_\Omega \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial u}{\partial
x_i}\right)^2 \dd x_1 \ldots \dd x_n.
\]
\item[(9)] Odvoďte Euler--Lagrangeovy rovnice pro Lagrangeovu hustotu
\[
{\cal L} = \sum_{i=0}^3 h_i \left( \frac{\partial u}{\partial x_i} - e
A_i\right)^2 + m^2 u^2 + \sum_{i=0}^3 h_i h_j \left( \frac{\partial
A_i}{\partial x^j} \right)^2 + m \sum_{i=0}^3 h_i A_i^2,
\]
kde pole jsou skalární $u$ a čtyřvektorové $(A_0,A_1,A_2,A_3)$. Dále $h_0=1$,
$h_1=h_2=h_3=-1$.
\item[(10)] Uvažujte Lagrangeovu hustotu z~předchozí úlohy. Ukažte, že
je invariantní vůči Lorentzovým transformacím $(x_0,x_1,x_2,x_3)$.
\item[(11)] Odvoďte zákony zachování pro transformaci z~předchozí úlohy.
\end{enumerate}
\subsection{Přibližné metody}
\begin{enumerate}
\item[(12)] Ritzova variační metoda (metoda konečných prvků): zvolme posloupnost funkcí $\{u_n\}$ splňující
okrajové podmínky daného variačního problému. Potom můžeme uvažovat
podprostory $V_n$ prostoru přípustných funkcí generované lineárními kombinacemi typu
$a_1 u_1 + \cdots + a_n u_n$. Zjevně je $V_n$ vektorovým podprostorem ve
$V_{n+1}$. Variační funkcionál můžeme vyčíslit na takové lineární kombinaci a
minimalizovat funkcionál pouze na $V_n$ jako funkci $n$ proměnných
$a_1,\ldots,a_n$. V~příznivých případech pro $n\zob \infty$ získáme řešení.
Pro variační funkcionál
\[
\int_0^1\left(\tfrac{1}{2}\dot{u}^2-\tfrac{1}{2}u^2 -2tu\right) \dd t
\]
s~okrajovými podmínkami $u(0)=u(1)=0$ předchozí postup proveďte pro
posloupnost $\{u_n\}$, kde
\[
u_n = t^n (1-t).
\]
Srovnejte s~přesným řešením.
\item[(13)] Původní Eulerův přístup (metoda konečných diferencí): Uvažte variační úlohu např. pro funkcionál
z~předchozí úlohy (12) se stejnými okrajovými podmínkami. Interval $[0,1]$
rozdělíme na $n+1$ stejně dlouhých dílků, každý o~šířce $\Delta t =1/(n+1)$. Označme
$t_k = k \Delta t$ a $u_k=u(t_k)$, $k\in\{0,\ldots,n+1\}$. Potom $u_0=u_{n+1}=0$. Funkci
$u(t)$ nahradíme lomenou čarou s~vrcholy $(t_0,u_0),\ldots,(t_{n+1},u_{n+1})$.
Derivace $\dot{u}$ v~bodě $t_k$ aproximujeme např. konečnými dopřednými
diferencemi $(u_{k+1}-u_k)/\Delta t$ a integrál aproximujeme patřičným Riemannovým
součtem. Potom variační funkcionál můžeme aproximovat funkcí $n$ proměnných
$u_1,\ldots,u_n$ a její extrémy hledat tradičními metodami z~diferenciálního
počtu více proměnných. Proveďte pro výše uvedený funkcionál!
\end{enumerate}
\end{document}
