Příklady k přednášce

ÚLOHY K PRVNÍMU SEMESTRU PŘEDNÁŠKY PANORAMA FYZIKY

1.1. Představme si model, v němž je dráha Země kolem Slunce

zmenšena na velikost jednoho metru. Jak je v tomto modelu

velká Země a Slunce? Jak daleko jsou nejvzdálenější planety,

nejbližší hvězda, okraje naší Galaxie, nejbližší galaxie?

1.2. Představme si, že dělíme metr dlouhou hůlku na poloviny,

tyto poloviny opět na poloviny atd. Po kolika zlomech je možno

pokračovat už jen v představách? Po kolika děleních se dostaneme

do oblasti rozměrů atomů, atomových jader, k Planckově délce? Na

kolik dílů je v té chvíli hůlka rozdělena?

1.3. Kdybychom ze Slunce i ze Země odebrali určité procento

elektronů, vznikla by mezi kladně nabitými tělesy odpudivá síla,

která by vyrovnala působení gravitace. Jaké procento elektronů by

to muselo být a jaký podíl by měly na hmotnosti obou těles?

(Potřebné údaje ke všem otázkám si vyhledejte v knihách či

v tabulkách. Výsledek nejdříve odhadněte na základě vašich

prvotních představ a pak porovnejte odhad s výsledkem výpočtu.)

2.1. Z třista metrů vysoké věže vysílačky Kojál je puštěn kámen.

Na kterou stranu a v jaké vzdálenosti od paty kolmice vedené

k zemskému povrchu dopadne?

(K výpočtu použijte inerciálního systému, v němž je v okamžiku

puštění kamene pata věže v klidu, kdežto vrchol se v důsledku

zemské rotace pohybuje. Odpor vzduchu nejprve zanedbejte a pak

uvažte, jak by se mohl projevit na výsledku.)

2.2. Skupina běžců trénuje tak, že po minutě vybíhají na trasu a

běží po ní rychlostí 20 km za hodinu. Proti nim jde chodec

rychlostí 5 km za hodinu. S jakou periodou ho běžci míjejí? Při

dalším tréningu veze běžce ve směru trasy terénní vozidlo

rychlostí 5 km za hodinu. Běžci z něho vybíhají opět v minutových

intervalech a běží výše uvedenou rychlostí, sleduje je však divák

stojící na místě. Je perioda, s níž ho běžci míjejí, stejná jako

v předchozím případě?

(Výsledek nejprve "tipujte" a pak se o správnosti své intuice

přesvědčte výpočtem.)

2.3. Ve vagónu rychle jedoucího vlaku je na podlaze míč

a u stropu balónek naplněný vodíkem. Vlak prudce zabrzdí. Kam se

pohne míč a kam balónek? Nechť je ve vagónu dále kovová nádoba

s vodou, v níž plavou ryby. Nádoba při brzdění prudce narazí na

stěnu, ale nerozbije se. Mohou ryby utrpět újmu?

 3.1. Střelec střílí na terč, který je v okamžiku výstřelu

nehybný, ale začíná volně padat, jakmile k němu dorazí zvuková

vlna vyvolaná výstřelem. Je dána počáteční rychlost střely.

Určete množinu počátečních poloh terčů, které mohou být (nad

zemí) zasaženy (za předpokladu, že gravitační pole je homogenní

a odpor vzduchu zanedbatelný).

3.2. Částice o dané hmotnosti a náboji vlétne do homogenního

magnetického pole kolmo na toto pole. Dokažte, že se bude

pohybovat po kružnici. Jak souvisí poloměr kružnice a frekvence

obíhání s parametry dané úlohy?

3.3. Na volně padající těleso působí síla odporu prostředí

a) úměrná rychlosti b) úměrná druhé mocnině rychlosti. Určete

pohyb tělesa.

(Je třeba vyřešit příslušnou diferenciální rovnici druhého řádu.)

4.1. Rychlost střely je možno určit tak, že ji vstřelíme do

kyvadla, v němž střela uvázne, a změříme výšku, do níž kyvadlo

vystoupí. Student A užil k výpočtu zákona zachování energie a

porovnal počáteční kinetickou energii střely s potenciální

energií kyvadla se střelou v okamžiku obratu. Student B užil

navíc zákona zachování hybnosti a porovnal počáteční hybnost

střely s hybností kyvadla se střelou po srážce, dále pak porovnal

kinetickou energii kyvadla se střelou po srážce s jejich

potenciální energií v okamžiku obratu. Dospěli ke shodným

výsledkům? Pokud ne, který uvažoval správně?

4.2. Přesvědčte se nahlédnutím do kalendáře, že jaro a léto trvá

déle, než podzim a zima. Jak velký je rozdíl? Jaká je příčina

tohoto jevu?

4.3. Na částici hmotnosti m působí silové pole F = - m w x (w x r),

kde w je konstantní vektor, r = (x,y,z). Přesvědčte se, že jde o

pole odstředivé síly v neinerciálním systému a že toto pole je

konzervativní, tzn. poloze částice v něm lze přiřadit potenciální

energii. Tuto energii určete.

(Připomeňte si kritérium konzervativnosti pole a vztah mezi

potenciální energií a prací.)

 5.1. Dokončete řešení Bernoulliho úlohy o křivce nejkratšího trvání

sestupu v homogenním gravitačním poli a dokažte, že touto křivkou

je cykloida.

5.2. Částice v homogenním gravitačním poli padá z výšky H podle

vztahu s = gt²/2. Přesvědčte se, že pro pohyby probíhající podle vztahů

s = at , s = bt³/3, s = c tg t , kde konstanty a, b, c jsou voleny

tak, aby pád trval stejnou dobu, má časový integrál z rozdílu

kinetické a potenciální energie větší hodnotu než pro pohyb

skutečný.

5.3. Sestavte Lagrangeovu funkci a rovnice pro sférické kyvadlo

(hmotný bod vázaný na povrch koule v homogenním gravitačním

poli). Určete zachovávající se veličiny a jejich fyzikální

význam.

(Použijte sférických souřadnic, do nichž přepočítáte kinetickou i

potenciální energii.)

6.1. Mějme dva válce o stejných rozměrech a hmotnostech, víme

však, že jeden z nich je dutý. Navrhněte jednoduchý pokus, kterým

to poznáme.

6.2. Mějme dvě polokoule, jednu postavíme průřezem na zem a další

na ni položíme jako "čepici". Jaká podmínka musí platit, aby

horní polokoule nespadla? Je-li tato podmínka splněna, s jakou

frekvencí bude horní polokoule kmitat při malé výchylce

z rovnovážné polohy?

(Je třeba určit potenciální energii "čepice" jako funkci výchylky

a hledat podmínku jejího minima. K určení frekvence je třeba znát

také kinetickou energii jako funkci výchylky a odvodit odtud

rovnici pro malé kmity. K výpočtu je třeba znát polohu těžiště a

moment setrvačnosti polokoule, což můžeme vypočítat nebo najít

v tabulkách.)

6.3. Dokažte, že rovnice pro pohyb částice v elektromagnetickém

poli plynou z Lagrangeovy funkce L = mv²/2 + e (Av - f), kde A je

vektorový a f skalární potenciál (oba jsou obecně funkcemi

souřadnic a času), přičemž elektrická intenzita E a magnetická

indukce B se odvodí z potenciálů jako E = - grad f - DA/Dt

(symbolem D zde značíme parciální derivaci), B = rot A.

7.1. Najděte úbytek hustoty s výškou v homogenním gravitačním

poli pro ideální plyn. Dále ukažte, že konečné množství ideálního

plynu ve sféricky symetrickém gravitačním poli nemůže být

v hydrostatické rovnováze a musí se rozptýlit do prostoru. Jak se

to slučuje s existencí zemské atmosféry?

7.2. Jaký tvar má hladina vody v rotující nádobě? Nechť nádoba je

velká a na hladině pluje lodička s pozorovatelem, který nevidí

mimo nádobu. Jak se mu bude situace jevit?

7.3. Fotbalista žádal fyzika, aby mu vysvětlil, proč se rotující

míč odchyluje od původního směru svého letu. Fyzik to zdůvodnil

Bernoulliho rovnicí: nechť míč se otáčí (při pohledu shora) ve

směru hodinových ručiček, pak (z hlediska hráče, který do něho

kopl) je na levé straně rychlost míčem strhávaného vzduchu větší

než na pravé, proto je tam nižší tlak a míč se tedy odchyluje

doleva. Fotbalista namítl, že ve skutečnosti je tomu právě

naopak. Fyzik navrhl posuzovat problém z hlediska inerciálního

systému spojeného s letícím míčem: v tomto systému je vzduch

nalevo od míče brzděn více než napravo a tlak je tam proto větší,

takže míč se uchyluje doprava. Je některé z těchto vysvětlení

správné a pokud ano, proč je druhé nesprávné?

8.1. Vypočtěte elektrické pole nekonečné tenké homogenně nabité

desky. Jaké závěry lze na základě toho učinit o poli mezi dvěma

deskami kondenzátoru?

8.2. Rovinná vodivá smyčka se otáčí konstantní úhlovou rychlostí

v homogenním magnetickém poli majícím směr osy z a) kolem osy z

b) kolem osy x. V kterém případě vznikne elektrický proud a jak

se mění s časem?

8.3. Směr magnetického pole buzeného proudem se určuje podle

pravidla pravé ruky. Znamená to, že elektrodynamika umožňuje

odlišit pravé a levé (tj. mohl by někdo využít zákonů

elektromagnetismu k určení, která ruka je pravá a která levá)?

9.1. Elektrický dipól vzniká sbližováním dvou opačných nábojů.

Bodový dipól získáme limitním přechodem, kdy velikost nábojů

roste nade všechny meze a jejich vzdálenost se blíží k nule tak,

že součin velikosti náboje a vzdálenosti zůstává konstantní.

Určete pole dipólu a) v rovině kolmé ke spojnici nábojů

b) v rovině, v níž leží náboje.

(Zaveďte dipólový moment p = e (r₁ - r₂), kde r₁ , r₂ značí polohy

nábojů. V limitě tyto polohy splývají.)

9.2. Ukažte, že složením dvou lineárně polarizovaných rovinných

monochromatických vln o téže frekvenci vznik  vlna elipticky

polarizovaná (tj. vlna, v níž koncový bod vektoru E, popř.

B v daném bodě prostoru opisuje elipsu).

9.3. Vypočtěte hustotu energie a hustotu toku energie v rovinnéŤ

monochromatické vlně.

10.1. Čtyři družice oblétávají Slunce po kruhové dráze o poloměru

rovném astronomické jednotce (poloměr dráhy Země kolem Slunce)

tak, že se nacházejí ve vrcholech čtverce. Z jedné z družic je

vyslán radiový signál a retranslován zbývajícími družicemi v obou

směrech tak, že se nakonec vrátí k výchozí družici. Bude mezi

příchodem signálů z obou směrů časový rozdíl a jestliže ano,

jaký?

10.2. Vraťme se k příkladu 2.2., nahraďme běžce světelnými

signály a chodce i terénní vozidlo raketou o velké rychlosti.

Bude nyní pozorovaná perioda v obou případech stejná?

10.3. Napište a vyřešte rovnici pro relativistický pohyb tělesa

pod vlivem stálé síly a ukažte, jak pro malou sílu výsledek

přechází ve výsledek známý z newtonovské fyziky.

11.1. Ukažte, že podle teorie relativity mohu událost, která se

již stala, "přesunout do budoucnosti", začnu-li se pohybovat

dostatečně velkou rychlostí. Musím se proto pohybovat od události

nebo směrem k ní? Jakou rychlostí bych se musel pohybovat, abych

odsunul současný výbuch supernovy v Magellanově mračnu o rok do

budoucnosti?. Proč takovéto posouvání v čase nevede k žádnému

rozporu?

11.2. Vynálezce podal tento návrh na překonání rychlosti

světla: Roztočme světlomet dostatečně velkou úhlovou rychlostí.

Pak rychlost "prasátka" na stínítku v dostatečné vzdálenosti

překročí rychlost světla. Jakou úhlovou rychlostí by se musel

otáčet světlomet, aby byla rychlost světla takto překročena ve

vzdálenosti Měsíce? Jak tento vynález hodnotíte?

11.3. Průmět bomby shozené z vodorovně letícího letadla by se

pohyboval ve vodorovném směru stejnou rychlostí jako letadlo,

kdyby nebylo odporu vzduchu (a kdyby gravitační pole bylo přesně

homogenní). Platí to i o vodorovném průmětu náboje shozeného

nikoliv v gravitačním, ale v elektrickém homogenním poli?

Matematický aparát

I.1. Řešte diferenciální rovnici d²x/dt² = -a x - b dx/dt, kde

a , b jsou nezáporné konstanty. Jaký fyzikální význam rovnice má?

(V závislosti na hodnotách konstant nastávají různé kvalitativně

odlišné případy. Nezapomeňte na žádný z nich.)

I.2. Vytvořte všechny možné formální kombinace dvojic z operací

rot, grad, div. Rozhodněte, které z nich mají smysl a které jsou

(v důsledku záměnnosti druhých parciálních derivací) identicky

rovny nule.

I.3. Je dáno vektorové pole v = w x r, kde w je konstantní

vektor, r = (x,y,z) je polohový vektor. Ukažte, že jde o

rychlostní pole v rotujícím tuhém tělese a určete jeho rotaci a

divergenci. Může takovéto rychlostní pole existovat ve vazké

tekutině? Mohlo by představovat pole elektrické či magnetické?