Pavla's home page

Matematika 2 (F2712)

Požadavky k zápočtu

Požadavky ke zkoušce (PDF) Čtěte pečlivě!!!

Ukázková písemka ke zkoušce (PDF)

Ukázkový test ke zkoušce (PDF)

Definice požadované u zkoušky (PDF) (Nesmějí být na taháku.)

Literatura

Matematika pro porozumění i praxi II

Přednáška 1 první týden:

Vlastnosti Euklidových prostorů. Metrika a topologie. Jak měříme vzdálenost - různé metriky v rovině a prostoru (Euklidova, součtová, maximální), otevřená koule, jak metrika indukuje topologii - přirozená topologie, co je to otevřená a uzavřená množina. Pojmy vnitřek, vnějšek, hranice a uzávěr množiny. Okolí a ryzí okolí bodu. Jak je to s nekonečny. Definice limity funkce více proměnných. Nesouvislá, souvislá a vícenásobně souvislá množina. Omezená množina. Kompaktní množina.

Přednáška 2 první týden:

Obyčejné diferenciální rovnice, terminologie - rovnice, řád rovnice, řešení, obecné řešení, partikulární řešení, počáteční a okrajové podmínky, řešení počáteční nebo okrajové úlohy, příklady ze života, lineární diferenciální zákon. Rovnice rozřešené vzhledem k derivaci, geometrický význam, směrové pole, izokliny, integrální křivky. Existence a jednoznačnost řešení (Peanova a Picardova věta, Lipschitzova podmínka, příklady), výjimečné a singulární řešení. Rovnice se separovatelnými proměnnými, postup řešení, příklady.

Cvičení 1. týden:

Opakování diferenciálního a integrálního počtu. Derivace, integrály. Jednoduché diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými.

Přednáška 3 druhý týden:

Převod rovnice s homogenní funkcí na rovnici se separovatelnými proměnnými. Rovnice převoditelné na rovnici s homogenní funkcí nebo na rovnici se separovatelnými proměnnými.

Přednáška 4 druhý týden:

Rovnice lineární prvního řádu. Bernoulliova rovnice. Exaktní rovnice (integrační faktor).

Cvičení 2. týden:

Rovnice se separovatelnými proměnnými a rovnice na ně převoditelné. Nějaké fyzikální příklady (pohyb s konstantní silou a odporem prostředí, atd.).

Přednáška 5 třetí týden:

Rovnice nerozřešené k derivaci, Lagrangeova a Clairautova rovnice, metoda derivování. Geometrická interpretace. Lineární diferenciální rovnice druhého a n-tého řádu, princip superpozice. Řešení homogenních lineárních rovnic druhého i obecného řádu s konstantními koeficienty.

Přednáška 6 třetí týden:

Řešení nehomogenních lineárních rovnic druhého i obecného řádu. Rovnice se speciální pravou stranou, metoda variace konstatnt. Wronskián. Tlumený harmonický oscilátor s budicí silou.

Cvičení 3. týden:

Lineární, Bernouliova a exaktní diferenciální rovnice. Lagrangeova a Clairautova rovnice.

Přednáška 7 čtvrtý týden:

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty. Charakteristická matice, charakteristický polynom, charakteristické kořeny.

Přednáška 8 čtvrtý týden:

Algebra: Množina a relace, zobrazení, relace ekvivalence, faktorizace, relace uspořádání, Struktury s jednou operací (grupoid, pologrupa, monoid, grupa, abelovská grupa), příklady: číselné grupy, konečné grupy (grupy permutací). Struktury se dvěma operacemi (okruh, okruh s jedničkou, komutativní okruh, těleso, pole, obor integrity). Podgrupa. Homomorfismus a izomorfismus grup, jádro a obraz homomorfismu. Důkaz, že jádro homomorfismu je podgrupa. Struktury se dvěma operacemi (okruh, okruh s jedničkou, komutativní okruh, těleso, pole, obor integrity). Příklady: číselná tělesa a okruhy, okruhy zbytkových tříd, Zp je tělesem právě tehdy, když p je prvočíslo.

Cvičení 4. týden:

Exaktní diferenciální rovnice a integrační faktor. Lagrangeova a Clairautova rovnice. Rovnice druhého a vyšších řádů (homogenní, nehomogenní se speciální pravou stranou, metoda variace konstanty).

Přednáška 9. pátý týden:

Vektorový prostor nad polem reálných nebo komplexních čísel, lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady prostorů (polynomy, matice, n-tice), určování složek vektoru v bázi.

Přednáška 10 pátý týden:

Podprostor, příklady podprostorů. Průnik podprostorů, důkaz, že je to podprostor. Příklady podprostorů v R3 (přímky a roviny procházející počátkem, triviální podprostory, způob zadání), lineární obal. Řešení homogenní soustavy lineárních rovnic je podprostorem. Sjednocení podprostorů (narozdíl od průniku) obecně podprostorem není. Součet podprostorů (nejmenší podprostor obsahující sjednocení), kdy je a není rozklad vektoru ze součtu do původních podprostorů jednoznačný. Přímý součet podprostorů, dolpňek, rozklad vektoru do podprostoru a jeho doplňku, projekce. Příklady na určování báze, dimenze, součtu a průniku, věta o dimenzích.

Cvičení 5. týden:

Procvičování rovnic před písemkou, nehomogenní rovnice druhého a vyšších řádu, speciální pravá strana, metoda variace konstant. Soustavy rovnic prvního řádu. Základní algebraické struktury.

Přednáška 11 šestý týden:

Přímý součet podprostorů, dolpňek, rozklad vektoru do podprostoru a jeho doplňku, projekce. Příklady na určování báze, dimenze, součtu a průniku. Lineární zobrazení - definice, příklady a protipříklady.

Přednáška 12 šestý týden:

Způsoby zadání lineárního zobrazení, reprezentace v bázích, matice lineárního zobrazení, matice přechodu a transformační vztah pro matice téhož zobrazení v různých bázích. Konkrétní příklad projekce (je zadán podprostor L a jeho doplněk v R3 - slunce svítí ve směru doplňku, jaké budou stíny v rovině L?), jak najít rozklad libovolného vektoru na součet vektoru z L a vektoru z doplňku, určení matice zobrazení ve standardní bázi, určení matice zobrazení v jiné, ověření transformačního vztahu.

Cvičení 6. týden:

Písemka. Základní algebraické struktury.

Přednáška 13 sedmý týden:

Co je vlastní hodnota a vlastní vektor. Určování vlastních hodnot a vektorů, charakteristická matice, charakteristický polynom, charakteristické kořeny - spektrum. Kritéria diagonalizace operátoru. Operátory nad komplexními i nad reálnými čísly. Příklady diagonalizovatelných a nediagonalizovatelných operátorů. Vlastní vektory příslušné téže vlastní hodnotě doplněné nulovým vektorem tvoří podprostor. Vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám jsou nezávislé.

Přednáška 14 sedmý týden:

Zopakovat postup na hledání vlastních vektorů, kritéria diagonalizace. Projekce a involuce. Izomorfismus vektorových prostorů. Příklady a opakování.

Cvičení 7. týden:

Vektorové prostory, podprostory, báze, dimenze, určování složek v bázi, součet a průni podprostorů, doplněk.

Přednáška 15 osmý týden:

Skalární součin, vlastnosti, nad R i nad C. Norma (velikost vektoru). Odchylka dvou vektorů. Euklidův a unitární prostor. Příklady skalárních součinů v Rn, Cn, polynomech. Reprezentace v bázi. Matice reprezentující skalární součin a její vlastnosti (samoadjungovaná, pozitivně definitní). Ortogonální a ortonormální systém vektorů. Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces, normování. Přiklady na skalární součin, ortogonalizaci a reprezentaci v bázi.

Přednáška 16 osmý týden:

Ortogonální doplněk k podprostoru, definice a vlastnosti, je určen jednoznačně. Příklady na určování ortogonálního doplňku. Ortogonální projekce a komponenta. Ortogonální projekce do jednorozměrného podprostoru, ortogonální projekce do vícerozměrného podprostoru. Ortogonální projekce a komponenta počítaná v ortonormální bázi - matice projekce.

Cvičení 8. týden:

Lineární zobrazení, jádro, obraz, vlastní hodnoty a vlastní vektory.

Přednáška 17 devátý týden:

Samoadjungované a unitární operátory v Un. Symetrické a ortogonální operátory v En. Základní vlastnosti operátorů. Spektrální reprezentace.

Přednáška 18 devátý týden:

Funkce více proměnných, kde se s nimi setkáme ve fyzice - skalární a vektorová pole. Určování a zakreslení definičního oboru funkce dvou proměnných, graf funkce dvou a více proměnných, vrstevnice. Limita a spojitost funkce více proměnných. Výpočty limit. Parciální derivace, výpočty parciálních derivací. Schwarzova věta. Diferenciál funkce dvou proměnných, aplikace. Diferencovatelnost.

Cvičení 9. týden:

Skalární součin, matice skalárního součinu, ortogonalizační proces, unitární a samoadjungované operátory.

Přednáška 19 desátý týden:

Kmenová funkce. Zobrazení prostorů vyšších dimenzí, parametrizace křivek a ploch, transformace souřadnic, složky funkce, spojitost a diferencovatelnost, tečný prostor, tečné zobrazení, Jacobiho matice, jakobián.

Přednáška 20 desátý týden:

Aplikace, výpočet plochy pomocí transformace do nových souřadnic. Transformace parciálních diferenciálních rovnic do nových souřadnic.

Cvičení 10. týden:

Funkce více proměnných.

Přednáška 21 jedenáctý týden:

Extrémy funkcí více proměnných. Taylorův polynom, věta o implicitní funkci.

Přednáška 22 jedenáctý týden:

Diferenciální operátory. Skalární a vektorová pole. Gradient, rotace, divergence.

Cvičení 11. týden:

Funkce více proměnných.

Přednáška 23 dvanáctý týden:

Opakování ke zkoušce.

Přednáška 24 dvanáctý týden:

Opakování ke zkoušce.

Cvičení 12. týden:

Písemka.

Přednáška 25 třináctý týden:

Rezerva na státní svátky.

Přednáška 26 třináctý týden:

Předtermín.

Cvičení 13. týden:

Opakování ke zkoušce (rezerva na státní svátky).

Termíny písemek: termíny v jednotlivých skupinách budou upřesněny cvičícím

5. týden (základní algebraické struktury, lineární zobrazení, křivočaré souřadnice)

10. týden (skalární součin, vlastní vektory lineárních transformací)

13. týden (funkce více proměnných, vektorová analýza, diferenciální rovnice)

Náhradní příklady za neúčast a příklady pro kombinované studenty

Doporučujeme použít cvičení v učebnici Matematika pro porozumění i praxi II. Množství odevzdaných příkladů by mělo odpovídat rozsahu cvičení, tj. tři hodiny týdně. Je možné použít i jiná skripta a sbírky podle sylabu přednášky. Následující soubory k procvičení jsou starší a neodpovídají letošnímu časovému harmonogramu.

Cvičení 10 - vyzkoušejte si písemku

Cvičení 11

Cvičení 12