Představme si neutrální plazmu, do které vložíme malou sférickou perturbaci elektronové hustoty. Tato nadbytečná elektronová hustota vytvoří kolem sebe radiální elektrické pole, které míří směrem k přidané hustotě. Elektrony na okraji a kolem sférické perturbace se začnou vzdalovat dál od perturbace. Vzhledem k tomu, že elektrony získají kinetickou energii, se nakonec dostanou dál než by odpovídalo rovnovážnému stavu, stejným způsobem jak se kyvadlo po vychýlení nezastaví v rovnovážným bodě. Směr radiálního elektrického pole se otočí a naše sférická oblast bude teď vyplněna nadbytkem kladného náboje. Celý proces se periodicky opakuje. Pohyb iontů v plazmatu se často zanedbává, jelikož jsou ionty vetšinou mnohem těžší než elektrony a urychlují se pomaleji.
Podívejme se na oscilace, které vznikají tímto procesem. Elektronová hustota je složena z hustoty plazmatu a perturbace: \[\begin{gather} n_e(r, t) = n_0 + n_e'(r, t). \end{gather}\] Uvažujeme, že perturbace je malá, \(\lvert n_e\rvert \lll n_0\), podobně i rychlost elektronů, abychom mohli použít linearizované rovnice kontinuity a hybnosti a taky zanedbáme srážky. Soustavu rovnic doplní Poissonova rovnice a dostáváme systém rovnic: \[\begin{gather} \frac{\partial {n_e'}}{\partial {t}} + n_0 \nabla \cdot \mathbf{u}_e = 0 \\ \frac{\partial {\mathbf{u}_e}}{\partial {t}} + \frac{e}{m_e} \mathbf{E} = 0 \\ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_e'. \end{gather}\]
Rovnice můžeme dále upravit a dostat rovnici pro \(n_e\): \[\begin{gather} \frac{\partial {^2 n_e'}}{\partial {t^2}} + n_0 \nabla \cdot \frac{\partial {\mathbf{u}_e}}{\partial {t}} = 0 \\ \nabla \cdot \frac{\partial {\mathbf{u}_e}}{\partial {t}} + \frac{e}{m_e} \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \nabla \cdot \frac{\partial {\mathbf{u}_e}}{\partial {t}} = \frac{e^2}{m_e \varepsilon_0} n_e' \\ \frac{\partial {^2 n_e'}}{\partial {t^2}} + n_0 \frac{e^2}{m_e \varepsilon_0} n_e' = 0, \end{gather}\] co je rovnice pro harmonický oscilátor s frekvencí: \[\begin{gather} \omega_\mathrm{pe} = \sqrt{\frac{n_0 e^2}{m_e \varepsilon_0}}, \end{gather}\] kterou jsme již potkali – je to elektronová plazmová frekvence.
Řešení rovnice pro perturbovanou hustotu je: \[\begin{gather} n_e'(r, t) = n_e'(r) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\mathrm{pe} t} \end{gather}\] a po dosazení zpátky do soustavy rovnic dostáváme: \[\begin{gather} \nabla \cdot \mathbf{E} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_e'(r) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\mathrm{pe} t}\\ \nabla \cdot \mathbf{u}_e = \frac{1}{n_0} \frac{\partial {n_e'}}{\partial {t}} = \frac{-\mathrm{i}\omega_\mathrm{pe}}{n_0} n_e'(r) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\mathrm{pe} t} \\ \mathbf{u}_e = - \frac{\mathrm{i}e}{\omega_\mathrm{pe} m_e} \mathbf{E} \end{gather}\] z čeho můžeme vypozorovat 2 věci: