Transformační rovnice

Odvození tvaru transformačních rovnic vychází ze znalosti průběhu spektra objektu. My budeme předpokládat, že naše měření budeme provádět pro běžné hvězdy, kdy průběh spektra je dán, až na malé odchylky představované spektrálními čarami, průběhem spektra absolutně černého tělesa.

Spektrální průběh intenzity záření takového objektu je dán vztahem:

$$B_{\nu} = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/\lambda k T} - 1}$$

Přepsání toho vztahu do magnitudové škály vede na vztah:

$$m_{\lambda} = 12.5 \log \lambda + 2.5 \log (e^{hc/\lambda k T} - 1) + m_{0\lambda}$$

kde jsme označili $m_{0\lambda} \equiv 5 \log hc ^2$ která představuje posuv nuly a používáme desítkové logaritmy. V případě, že použijeme dlouhovlnnou aproximaci při které $hc/\lambda k T >> 1$ a vypočteme $1.086 \approx 2.5 \log e$ dostaneme

$$m_{\lambda} = 1.086 \frac{hc}{\lambda k T} + m_{0\lambda}$$

takže pro rozdíl dvou magnitud s vlnovými délkami $\lambda_1, \lambda_2$ máme

$$m_2 - m_1 = 1.086 \frac{hc}{k T} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right) + m_{02} - m_{01}$$

Nyní můžeme začít uvažovat aproximaci pro náš případ. Představme si, že máme změřené magnitudy nějaké hvězdy ve dvou různých standardních filtrech o vlnových délkách $\lambda_3, \lambda_4$. Dále máme dva filtry které chceme zkalibrovat o vlnových délkách $\lambda_1, \lambda_2$ které jsou velmi blízké standardním vlnovým délkám ( $\lambda_1 \approx \lambda_3$, $\lambda_2 \approx \lambda_4$) a mají velmi podobný profil spektrální citlivosti. V tom případě můžeme pro tyto standardní magnitudy psát

$$m_3 - m_1 = (m_2 - m_1) \frac{\lambda_3^{-1} - \lambda_1^{-1}}{\lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1}} + m_{03} - m_{01}$$

$$m_4 - m_1 = (m_2 - m_1) \frac{\lambda_4^{-1} - \lambda_1^{-1}}{\lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1}} + m_{04} - m_{01}$$

(nulové členy mají také závislost na vlnové délce ovšem tu v praxi zanedbáváme). Ze znalosti těchto vztahů můžeme určit alespoň teoreticky posuvy. V praxi ovšem málokdy známe skutečný posuv ve spektru natolik přesně jak potřebujeme proto se ty to vztahy přepisují do tvaru

$$m_3 - m_1 = A_{31} (m_2 - m_1) + \Delta m_{031}$$

pro magnitudy a do

$$m_4 - m_3 = A_{43} (m_2 - m_1) + \Delta m_{043}$$

pro barevné indexy a hodnoty parametrů se pak určují empiricky.