Lineární transformace

Z vlastností gnomonické transformace můžeme usoudit, že obecně budou mít souřadnice hvězd na CCD snímcích jiné měřítko, budou posunuté a nebo dokonce pootočené (otočení je vesměs malé a vzniká nedokonalostmi uchyceni CCD kamery na dalekohledu) oproti souřadnicím vypočteným pro katalogové hvězdy. Proto pro dobré přiblížení budeme muset použít ještě dvourozměrnou lineární transformaci. Ta udává vztah mezi vypočtenými souřadnicemi z gnomonické transformace $x_g,y_g$ a měřenými $x_c, y_c$.

$$\left( \begin{array}{c} x_g \\ y_g \end{array} \right)... ...) \left( \begin{array}{c} x_c \\ y_c \end{array} \right)$$

neboli ve vektorové formě

$${\bf r_g} = c( {\bf r} + {\sf M} {\bf r_c} )$$

$c$ je měřítko. $X_0,Y_0$ je je relativní posuv mezi snímky. $A,B$ jsou parametry rotace, $A$ reprezentuje $\cos \varphi$ a $B$ reprezentuje $\sin \varphi$, kde $\varphi$ je úhel mezi osami obrázku (platí goniometrická identita $A^2+B^2=1$).

Tato transformace nepopisuje zrcadlové převrácení snímku, které je třeba odhalit jinak.

Měřítko je sice možné odhadnout během minimalizace, ale je zajímavé si jej odhadnout předem. Ke zjištění měřítka se používá poměr mezi vzdáleností stejných objektů jednou na snímku jednou z vypočtených souřadnic. Pro vzdálenost dvou hvězd na snímcích platí vztah

$$( \Delta x_g )^2 + ( \Delta y_g )^2 = c^2 [ ( \Delta x_c )^2 + ( \Delta y_c )^2 ]$$

ze kterého snadno odhadneme měřítko. Z několika známých vzdáleností pak aritmetickým průměrem dostaneme odhad měřítka v jednotkách pixel na úhlovou vteřinu (případně naopak).