Matematika 3 (F3712) |
| Požadavky k zápočtu |
| Poznámky k přednášce - prezentace (PDF) |
| Požadavky ke zkoušce (PDF) |
| Pojmy požadované u zkoušky (PDF) |
| Učební text k přednáškám 1,2,4 s cvičením a výsledky (PDF) |
| Učební text k přednášce 3 s cvičením a výsledky (PDF) |
| Učební text k přednáškám 7,8,9 a 12 s cvičením a výsledky (PDF) |
| Učební text k přednáškám 10,11 s cvičením a výsledky (PDF) |
| Ukázková zkoušková písemka (PDF) |
| Ukázkový zkouškový test (PDF) |
| Literatura |
| Matematika pro porozumění i praxi II |
| Matematika pro porozumění i praxi III |
| Přednáška 1 - Nekonečné číselné řady: |
| Nekonečná číselná řada, posloupnost částečných součtů, součet řady, konvergentní, divergentní, oscilující řada, absolutně konvergentní řada, nutná podmínka konvergence řady, Cauchy-Bolzanovo kriterium, geometrická řada a její součet, harmonická řada, Leibnizova řada, Grandiho řada, asociativní zákon pro konvergentní řady, komutativní zákon pro absolutně konvergentní řady, Riemannova věta, alternující řady a Leibnizovo kriterium, operace s řadami (součet, násobek, lineární kombinace, součin - Dirichletův, Cauchyův), kriteria konvergence pro řady s kladnými členy (srovnávací, odmocninové - Cauchyovo, podílové - d'Alembertovo, Raabeovo, integrální, Dirichletovo, Abelovo). |
| Tabulka kritérií z učebnice Matematika pro porozumění a praxi |
| Přednáška 2 - Posloupnosti a řady funkcí: |
| Posloupnost funkcí, řada funkcí, bodová konvergence posloupností a řad, obor konvergence, stejnoměrná konvergence posloupností a řad, kritéria stejnoměrné konvergence (Cauchy-Bolzanovo, Weierstrassovo, Dirichletovo, Abelovo, suprémové, důsledky kritérií), vlastnosti stejnoměrně konvergentních řad (derivování a integrování člen po členu, spojitost součtu, jsou-li členy spojité), mocninná řada, poloměr konvergence, Taylorova řada, Maclaurinova řada, vlastnosti mocninných řad (spojitost součtu, integrace a derivace člen po členu, Abelova věta), aplikace řad (přibližné výpočty funkčních hodnot, výpočet limit, přibližný výpočet integrálů, řešení diferenciálních rovnic). |
| Tabulka kritérií z učebnice Matematika pro porozumění a praxi |
| Volně dostupná literatura: Došlá, Plch, Nekonečné řady s programem Maple |
| Další literatura: Došlá, Novák, Nekonečné řady |
| Prezentace o řadách k předmětu M3100: doc. Petra Hasila |
| Přednáška 3 - Úvod do funkcionální analýzy - metrické, normované, unitární, Banachovy a Hilbertovy prostory |
| Metrika, metrický prostor, indukovaná metrika, metrický podprostor, topologie, topologický prostor, otevřená množina, uzavřená množina, vnitřek, vnějšek, hranice, uzávěr, vzdálenost množiny, průměr množiny, omezená množina, hustá množina, separabilní prostor, Hausdorfův prostor, souvislá množina, kompaktní množina, normovaný vektorový (lineární) prostor, Cauchyovská posloupnost, konvergentní posloupnost, úplný metrický prostor, Banachův prostor, Hilbertův prostor, izometrické zobrazení, spojité zobrazení, stejnoměrně spojité zobrazení, Lipschitzovsky spojité zobrazení, kontrakce, Banachův princip pevného bodu, aplikace. |
| Další literatura: Došlá, Došlý, Metrické prostory |
| Prezentace o metrických prostorech k předmětu M2100F: doc. Petra Hasila |
| Přednáška 4 - Spektrální analýza - Fourierovy řady: |
| Trigonometrický polynom, trigonometrická řada, komplexní tvar, Dirichletova věta, Ortonormální systém, Fourierova řada, Fourierovy koeficienty, Besselova nerovnost, Parsevalvova rovnost, úplný a uzavřený ortonormální systém. |
| Přednáška 5 - Spektrální analýza - zmínka o Fourierově transformaci a distribucích: |
| Fourierova transformace a její základní vlastnosti, inverzní Fourierova transformace, konvoluce funkcí, Plancherelova věta, distribuce, operace na distribucích, Fourierova transformace distribucí. |
| Volně dostupná literatura: Kolář, Spektrální analýza |
| Prezentace o integrálních transformacích k předmětu M3100: doc. Petra Hasila |
| Přednáška 6 - Úvod do problematiky PDE |
| Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu, převod na kanonický tvar, Fourierova metoda (separace proměnných) pro hyperbolickou, parabolickou a eliptickou rovnici s Dirichletovými, Neumannovými a smíšenými okrajovými podmínkami. Laplaceův operátor v polárních souřadnicích, vnitřní a vnější Dirichletova úloha na kruhu, harmonické funkce. |
| Volně dostupná literatura: Pospíšil, Rovnice matematické fyziky |
| Přednáška 7 - Integrální počet funkcí více proměnných: |
| Opakování výpočtů fyzikálních charakteristik pomocí jednoduchého integrálu, křivkový integrál prvního druhu (geometrické a fyzikální charakteristiky křivek), křivkový integrál druhého druhu (práce síly po křivce), věta o nezávislosti na cestě. |
| Přednáška 8 - Integrální počet funkcí více proměnných: |
| Vícenásobný integrál, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. |
| Přednáška 9 - Integrální počet funkcí více proměnných: |
| Plošný integrál prvního druhu (geometrické a fyzikální charakteristiky ploch), plošný integrál druhého druhu (tok vektorového pole plochou), integrální věty (Greenova, Gaussova--Ostrogradského, Stokesova). |
| Volně dostupná literatura: Kalas, Kuben, Integrální počet funkcí více proměnných |
| Prezentace o vícenásobném integrálu k předmětu M3100: doc. Petra Hasila |
| Přednáška 10 - Lineární algebra - Jordanův normální tvar matice: |
| Podobnost matic, Jordanův normální tvar matice, polynomické matice, ekvivalence a kanonický tvar polynomických matic, unimodulární matice, základní věta o podobnosti matic, invariantní podprostor, kořenový podprostor, nilpotentní zobrazení, cyklické zobrazení. |
| Přednáška 11 - Lineární operátory ve fyzice |
| Sdružený, symetrický, antisymetrický, euklidovský, normální operátor, spektrální reprezentace. zmínka o lineárních operátorech v nekonečněrozměrných prostorech, spektrum a vlastní funkce. |
| Přednáška 12 - Lineární algebra - tenzory: |
| Lineární forma, duální prostor, tenzor, kontravariantní tenzor, kovariantní tenzor, symetrizace, antisymetrizace, úžení vektorovým a kovektorovým argumentem, zvedání a snižování indexu. |
| Volně dostupná literatura: Zlatoš, Lineárna algebra a geometria |
| Přednáška 13 - Opakování k zápočtu nebo zkoušce: |
| Vyřešení ukázkové písemky a testu. Přehled pojmů a souvislostí. |