Pavla's home page

Matematika 1 (F1711)

Pojmy, jejiž definice je nutné znát u zkoušky (nesmějí být na taháku)

1. Přednáška:

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých, matice soustavy, rozšířená matice soustavy, řešení soustavy, ekvivalentní úpravy matic, Gaussova eliminační metoda, schodovitý tvar matice, lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost, HODNOST MATICE, věta o existenci a počtu řešení v závislosti na hodnostech matice soustavy a rozšířené matice soustavy, volné neznámé. Homogenní soustavy, princip superpozice, zadání roviny v prostoru (třemi body, bodem a dvěma směrovými vektory, parametricky, obecně).

Ukázkové příklady pro první cvičení (PDF)

2. Přednáška:

Zadání přímky v prostoru (dvěma body, bodem a směrovým vektorem, parametricky, obecně), vzájemná poloha tří rovin, vzájemná poloha dvou přímek. Počítání s čísly: přirozená čísla - důkazy indukcí, celá čísla, racionální čísla, převod periodického desetinného čísla na zlomek, důkaz, že odmocnina ze dvou je irracionální, čísla e a pi jako součty nekonečných řad, reálná čísla (struktura komutativního tělesa, uspořádání), komplexní čísla (algebraický tvar, goniometrický tvar, exponenciální tvar, Moivrova věta, mocniny a odmocniny), základní věta algebry - rozklad polynomu v C.

Ukázkové příklady pro druhé cvičení (PDF)

3. Přednáška:

Soustavy rovnic s komplexními čísly. Počítání s maticemi, matice nad reálnými a nad komplexními čísly, typ matice, řádkový a sloupcový index, transpozice matice, součet, násobek skalárem, součin matic (vlastnosti operací - dokázat jako cvičení), vlastnosti vektorového prostoru, lineární kombinace matic, zmíněna báze a dimenze (bez přesné definice), zoo různých typů matic: matice diagonální, trojúhelníkové, symetrické, antisymetrické, samoadjungované, bezestopé. Jednotková matice, existence a metoda výpočtu inverzní matice, regulární a singulární matice. Determinant matice: geometrický význam determinantu - n-rozměrný orientovaný objem, premutace a určování znaménka permutace, definice a vlastnosti determinantu.

Ukázkové příklady pro třetí cvičení (PDF)

4. Přednáška:

Cauchyova věta (o součinu determinantů - bez důkazu), příklady na výpočet determinantu, determinant horních trojúhelníkových matic, Cramerovo pravidlo (s důkazem pro dvě proměnné, příklad a geometrický význam). Počítání s vektory, vektor jako šipka, n-tice, řádková nebo sloupcová matice, součet a násobek skalárem, vlastnosti operací. Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost, báze a dimenze, určování složek vektoru v bázi, matice přechodu, příklady. Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů v R3, vlastnosti. Ortonormální báze v R3. Příklady přenechány do cvičení. Do cvičení přenecháno: Laplaceův rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice.

Ukázkové příklady pro čtvrté cvičení (PDF)

5. Přednáška:

Kartézský součin, relace, definiční obor relace, obor hodnot relace, zobrazení, injektivní zobrazení, surjektivní zobrazení, bijektivní zobrazení, skládání zobrazení, vlastnosti skládání zobrazení, identické zobrazení, inverzní zobrazení. Permutace, skládání permutací, inverzní permutace. Funkce, určování definičního oboru, určování vnitřní a vnější složky složené funkce, určování inverzní funkce, graf funkce, operace s funkcemi (součet, násobek, součin), vlastnosti operací, vlastnosti funkcí (sudá, lichá, shora ohraničená, zdola ohraničená, ohraničená, rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotónní, ryze monotónní), příklady, funkce sgn, funkce |x|, dirichletova funkce.

Ukázkové příklady pro páté cvičení (PDF)

6. přednáška:

Každoročně odpadne jedna přednáška z důvodu imatrikulace nebo svátků. Kapitola ELEMENTÁRNÍ FUNKCE je obvykle přenechána do cvičení (absolutní hodnota, polynomy, racionálně lomené funkce, goniometrické a cyklometrické funkce, exponenciální a logaritmické funkce, hyperbolické a k nim inverzní funkce - středoškolské opakování).

7. přednáška:

Rozšířená množina reálných čísel, okolí bodu, ryzí okolí, pravé a levé okolí, okolí bodu nekonečno. Polynom, stupeň polynomu, kořen polynomu, násobnost kořene, rozklad polynomu v oboru komplexních čísel a rozklad polynomu v oboru reálných čísel, racionálně lomená funkce, dělení polynomu polynomem, ryze lomená funkce, rozklad na parciální zlomky. Limita funkce v bodě, nevlastní limita, limita v nevlastním bodě, limita zprava, limita zleva, věta o součtu, rozdílu, součinu, podílu limit, věta o sevření, počítání limit, funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Výpočty limit, spojitost funkce v bodě, spojitost zprava, spojitost zleva, příklady.

8. přednáška:

Věta o limitě složené funkce. Příklady: vlastní limity ve vlastním bodě, nevlastní limity ve vlastním bodě, vlastní limity v nevlastním bodě, nevlastní limity v nevlastním bodě. Spojitost funkce na uzavřeném intervalu, vlastnosti spojitých funkcí (Weierstrassova a Bolzanova věta, Lagrangeova věta), typy bodů nespojitosti (odstranitelné nespojitosti, nespojitosti prvního a druhého druhu, příklady). Derivace funkce, geometrický význam derivace, derivace jako číslo, derivace jako funkce, derivace jako operátor. Derivace zprava, derivace zleva, nevlastní derivace. Výpočet derivací některých elementárních funkcí z definice (x na n-tou, sin x), pravidla pro derivování a jejich použití, vztah derivace a spojitosti, důkaz: má-li funkce v nějakém bodě vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. l'Hospitalovo pravidlo, příklady. Můžete se potrápit těmito ÚKOLY.PDF testující správné pochopení pojmů. Slibovaná PRAVIDLA.PDF pro derivování jsou tu také.

Ukázkové příklady pro osmé cvičení (PDF)

9. Přednáška:

Příklady na l'Hospitalovo pravidlo (limity typu nula krát nekonečno, nekonečno mínus nekonečno, nula na nekonečno, jedna na nekonečno, nula na nultou a jejich úprava pro použití pravidla). Průběh funkce, asymptoty, lokální extrémy, inflexní body, přibližné vyjádření funkce, nahrazení funkce přímkou (diferenciál), nahrazení funkce polynomem (Taylorův polynom $n$-tého stupně), Taylorova řada.

10. Přednáška:

Posloupnost, aritmetická, geometrická, součet prvních n členů geometrické a aritmetické posloupnosti, součet geometrické řady, Fibonacciho posloupnost, limita posloupnosti, konvergentní, divergentní, oscilující posloupnost, hromadné body, limita superior, limita inferior, Cauchyovská posloupnost. Do cvičení přenecháno: další vlastnosti posloupností (rostoucí, klesající, shora ohraničená, zdola ohraničená...). Primitivní funkce - neurčitý integrál, existence a jednoznačnost primitivní funkce, základní integrační metody, metoda per partes (do cvičení přenecháno odvození rekurentního vztahu pro výpočet integrálu z (1+x^2)^(-k)). Substituční metoda I. a II. Příklady na použití substituční metody. Goniometrické a hyperbolické substituce.

11. Přednáška:

Univerzální goniometrická substituce t=tg(x/2) a substituce t=tg x, integrace parciálních zlomků, příklady na integraci irracionální funkce (Eulerovy substituce a binomický integrál přenechány do cvičení), integrály, které se vám nepodaří spočítat (PDF). Poznámka o definici přirozeného logaritmu jako primitivní funkce k 1/x. Plocha pod grafem funkce, Riemannův (určitý integrál), pojmy suprémum a infimum, příklady, dělení intervalu, horní a dolní součty, horní a dolní Riemannův integrál, riemannovsky integrabilní funkce, Newton-Leibnizova věta, aplikace (výpočty ploch mezi grafy různých funkcí), příklady na výpočet objemu (válec, kužel, koule).

Ukázkové příklady pro jedenácté cvičení (PDF)

12. Přednáška:

Nevlastní integrál, integrál jako funkce horní meze. Aplikace jednoduchého integrálu, geometrické a fyzikální charakteristiky ploch, křivek, rotačních těles a rotačních povrchů. Příklady (charakteristiky šroubovice, povrch pláště kužele, moment setrvačnosti koule). Přehled fyzikálních charakteristik (a příslušných vzorců), které dokážeme spočítat pomocí jednoduchého integrálu naleznete v souboru APLIKACE.PDF. Kombinatorika, variace s opakováním, variace bez opakování, kombinace s opakováním, kombinace bez opakování, permutace, faktoriál, kombinační číslo, náhodný jev, pravděpodobnost, sjednocení a průnik jevů, opačný jev, jistý a nemožný jev, vylučující se jevy --- sčítání pravděpodobností, nezávislé jevy --- násobení pravděpodobností.

Ukázkové příklady pro dvanácté cvičení (PDF)

13. Přednáška:

Podmíněná pravděpodobnost, Bayesova formule, příklady. Bernoulliův pokus a binomická pravděpodobnost. Náhodná veličina s diskrétním rozdělením, náhodná veličina se spojitým rozdělením, střední hodnota, střední kvadratická odchylka, rozptyl, distribuční funkce, medián, percentil. Bernoulliovo, Poissonovo, normální, Maxwellovo rozdělení.